어떤 문제인가
이 문제는 도형의 기하학적 성질(원주각, 삼각비)을 이용해서 선분의 길이를 $\theta$에 대한 식 $f(\theta)$로 나타낸 후, 이를 정적분하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 원주각의 성질: 원 위에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 항상 일정합니다.
- 삼각비와 직각삼각형: 직각삼각형에서 변의 길이를 삼각함수로 표현하는 방법입니다.
- 삼각함수의 정적분: 삼각함수의 부정적분 공식을 이용해 정적분 값을 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: $\triangle\text{ABP}$의 각도와 선분 $\text{BP}$의 길이 구하기
먼저 원 위의 세 점 $\text{A}(2,0)$, $\text{B}(0,-2)$, $\text{P}$가 이루는 삼각형 $\text{ABP}$를 살펴봅시다.
- 점 $\text{A}$와 $\text{B}$는 원 $C$ 위의 점입니다. 중심각 $\angle\text{AOB} = 90^\circ$이므로, 호 $\text{AB}$에 대한 원주각인 $\angle\text{APB}$의 크기는 중심각의 절반인 $45^\circ$ 즉, $\frac{\pi}{4}$로 항상 일정합니다.
- 삼각형 $\text{ABP}$에서 세 내각의 합은 $\pi$이므로, $\angle\text{PBA}$는 다음과 같이 구할 수 있습니다:
$$\angle\text{PBA} = \pi - \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\pi}{4} - \theta$$
이제 사인법칙을 사용하여 선분 $\text{BP}$의 길이를 구해봅시다. 외접원의 반지름이 $R=2$이므로 외접원의 지름은 $4$입니다.
$$\frac{\overline{\text{BP}}}{\sin\theta} = 2R = 4 \implies \overline{\text{BP}} = 4\sin\theta$$
2단계: 선분 $\text{BR}$의 길이 구하기
점 $\text{Q}(0, 2\cos\theta)$와 점 $\text{B}(0, -2)$는 모두 $y$축 위의 점입니다. 따라서 선분 $\text{BQ}$의 길이는 다음과 같습니다:
$$\overline{\text{BQ}} = 2\cos\theta - (-2) = 2\cos\theta + 2 = 2(1+\cos\theta)$$
이제 직선 $\text{BP}$와 $y$축(선분 $\text{BQ}$)이 이루는 각을 알아봅시다.
- $y$축의 양의 방향과 선분 $\text{BA}$가 이루는 각은 $45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$)입니다.
- 따라서 직선 $\text{BP}$와 $y$축의 양의 방향이 이루는 각 $\alpha$는 다음과 같습니다:
$$\alpha = \angle\text{PBA} - \frac{\pi}{4} = \left(\frac{3\pi}{4} - \theta\right) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \theta$$
직각삼각형 $\text{BRQ}$에서 $\angle\text{QBR} = \alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$이므로, 선분 $\text{BR}$의 길이는 삼각비를 이용해 다음과 같이 구할 수 있습니다:
$$\overline{\text{BR}} = \overline{\text{BQ}} \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 2(1+\cos\theta)\sin\theta$$
3단계: $f(\theta)$ 식 세우기
우리가 구하고자 하는 $f(\theta)$는 두 점 $\text{P}$와 $\text{R}$ 사이의 거리입니다. 점 $\text{R}$은 선분 $\text{BP}$ 위에 있으므로 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
$$f(\theta) = \overline{\text{PR}} = \overline{\text{BP}} - \overline{\text{BR}}$$
위에서 구한 값들을 대입해 봅시다:
$$f(\theta) = 4\sin\theta - 2(1+\cos\theta)\sin\theta$$
$$f(\theta) = 4\sin\theta - 2\sin\theta - 2\sin\theta\cos\theta$$
$$f(\theta) = 2\sin\theta - 2\sin\theta\cos\theta$$
배각공식($2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta$)을 사용하면 식을 더 간단하게 만들 수 있습니다:
$$f(\theta) = 2\sin\theta - \sin2\theta$$
4단계: 정적분 계산하기
이제 구한 $f(\theta)$를 $\frac{\pi}{6}$부터 $\frac{\pi}{3}$까지 정적분해 봅시다.
$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(\theta) d\theta = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\sin\theta - \sin2\theta) d\theta$$
부정적분을 구하면 다음과 같습니다:
$$\int (2\sin\theta - \sin2\theta) d\theta = -2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta + C$$
위끝과 아래끝을 대입하여 계산합니다:
$$\left[ -2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$$
- **$\theta = \frac{\pi}{3}$ 대입**:
$$-2\cos\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3} = -2\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right) = -1 - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$$
- **$\theta = \frac{\pi}{6}$ 대입**:
$$-2\cos\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{3} = -2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + \frac{1}{4}$$
- 두 값의 차 계산:
$$\left(-\frac{5}{4}\right) - \left(-\sqrt{3} + \frac{1}{4}\right) = \sqrt{3} - \frac{6}{4} = \sqrt{3} - \frac{3}{2} = \frac{2\sqrt{3}-3}{2}$$
답
**① $\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$**
확인해보기
점 $\text{P}$가 원 위를 움직이더라도 $\angle\text{APB}$의 크기가 항상 $45^\circ$로 일정한 이유를 원주각과 중심각의 관계를 이용하여 스스로 설명해 보세요.