반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 합성함수의 극대·극소 개념과 이차함수의 성질을 융합한 아주 좋은 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 함수를 차근차근 분해해서 분석하면 어렵지 않게 해결할 수 있어요. 선생님과 함께 한 단계씩 나아가 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 이차함수 $f(x)$와 지수함수가 결합된 합성함수 $g(x)$의 극대·극소 조건을 주고, 원래의 이차함수 $f(x)$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 합성함수의 극대와 극소: $g(x)$를 $f(x) = t$로 치환하여 $t$에 대한 함수로 바라보고 분석하기
- 이차함수의 대칭성: 이차함수는 꼭짓점을 기준으로 좌우 대칭이라는 성질 이용하기
- 도함수를 이용한 함수의 그래프 개형 분석: 미분을 통해 함수의 증가·감소와 극값 위치 파악하기
단계별 풀이
1단계: 치환을 통해 함수 $g(x)$의 구조 파악하기
함수 $g(x) = \{f(x)+2\}e^{f(x)}$는 이차함수 $f(x)$가 지수함수 형태에 합성되어 있습니다. 복잡한 식을 단순하게 만들기 위해 $f(x) = t$로 치환해 봅시다.
그러면 $g(x)$는 $t$에 대한 함수 $h(t)$로 표현할 수 있습니다.
$$h(t) = (t+2)e^t$$
이 함수 $h(t)$가 $t$의 값에 따라 어떻게 변하는지 알아보기 위해 $t$로 미분해 봅시다. 곱의 미분법을 사용합니다.
$$h'(t) = 1 \cdot e^t + (t+2)e^t = (t+3)e^t$$
$e^t > 0$이므로, $h'(t)$의 부호는 $t+3$에 의해 결정됩니다.
- $t < -3$일 때, $h'(t) < 0$이므로 함수 $h(t)$는 감소합니다.
- $t > -3$일 때, $h'(t) > 0$이므로 함수 $h(t)$는 증가합니다.
- $t = -3$일 때, $h(t)$는 극소이자 최소가 됩니다. 이때의 최솟값은 $h(-3) = -e^{-3}$입니다.
2단계: 조건 (가)를 통해 이차함수 $f(x)$의 꼭짓점 구하기
> 조건 (가): $f(a)=6$인 $a$에 대하여 $g(x)$는 $x=a$에서 최댓값을 갖는다.
이차함수 $f(x)$는 최고차항의 계수에 따라 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 모양을 가집니다.
- **만약 $f(x)$가 아래로 볼록하다면?**
$f(x)$는 최솟값을 가질 뿐, 최댓값은 존재하지 않고 $x \to \pm\infty$일 때 $f(x) \to \infty$가 됩니다. $t = f(x)$가 한없이 커지면 $h(t) = (t+2)e^t$도 한없이 커지므로 $g(x)$는 최댓값을 가질 수 없습니다. 따라서 조건 (가)를 만족하지 않습니다.
- **따라서 $f(x)$는 위로 볼록해야 합니다.**
즉, $f(x)$는 꼭짓점에서 최댓값을 가집니다. $f(x)$의 최댓값을 $M$이라 하면, $t = f(x)$의 범위는 $t \le M$이 됩니다.
이 범위에서 $g(x) = h(t)$가 최댓값을 가지려면, $h(t)$가 증가하는 구간인 $t > -3$ 영역에 $M$이 있어야 하고, $t$가 가장 클 때 $h(t)$도 최대가 됩니다.
따라서 $g(x)$는 $f(x)$가 최대일 때 최댓값을 가집니다.
문제에서 $x=a$에서 $g(x)$가 최댓값을 갖는다고 했으므로, $f(x)$ 역시 $x=a$에서 최댓값 $f(a)=6$을 가져야 합니다.
이로써 우리는 이차함수 $f(x)$의 꼭짓점이 $(a, 6)$이고 위로 볼록한 그래프라는 것을 알게 되었습니다! 최고차항의 계수를 $A$ ($A < 0$)라 하면 식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$f(x) = A(x-a)^2 + 6 \quad (A < 0)$$
3단계: 조건 (나)를 통해 $f(x)$의 식 완성하기
> 조건 (나): $g(x)$는 $x=b$, $x=b+6$에서 최솟값을 갖는다.
1단계에서 $h(t)$는 $t = -3$일 때 유일한 최솟값 $h(-3) = -e^{-3}$을 갖는 것을 확인했습니다.
따라서 합성함수 $g(x) = h(f(x))$가 최솟값을 가지려면 $f(x) = -3$이 되어야 합니다.
즉, 방정식 $f(x) = -3$을 만족하는 $x$의 값이 바로 최솟값을 갖는 지점인 $b$와 $b+6$입니다.
이차함수는 꼭짓점의 $x$좌표인 $x=a$에 대해 대칭이므로, $f(x) = -3$을 만족하는 두 실근 $b$와 $b+6$의 한가운데에 꼭짓점 $a$가 있어야 합니다.
$$a = \frac{b + (b+6)}{2} = b+3$$
이제 $f(b) = -3$이라는 사실을 이용해 최고차항의 계수 $A$를 구해봅시다. $f(x) = A(x-a)^2 + 6$에 $x=b$와 $a=b+3$을 대입합니다.
$$f(b) = A(b - (b+3))^2 + 6 = -3$$
$$A(-3)^2 + 6 = -3$$
$$9A = -9 \implies A = -1$$
우리가 구하고자 했던 이차함수 $f(x)$의 식은 다음과 같습니다.
$$f(x) = -(x-a)^2 + 6$$
4단계: $f(x)=0$의 두 실근의 차의 제곱 구하기
이제 마지막 단계입니다. 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 두 실근을 $\alpha, \beta$라고 했으므로 식을 풀어봅시다.
$$-(x-a)^2 + 6 = 0$$
$$(x-a)^2 = 6$$
$$x-a = \pm\sqrt{6}$$
$$x = a \pm \sqrt{6}$$
따라서 두 실근은 다음과 같습니다.
$$\alpha = a + \sqrt{6}, \quad \beta = a - \sqrt{6}$$
두 실근의 차 $(\alpha - \beta)$를 구하면:
$$\alpha - \beta = (a + \sqrt{6}) - (a - \sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$$
우리가 구하는 값은 이 차의 제곱이므로:
$$(\alpha - \beta)^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$$
답
$$24$$
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 만약 조건 (가)에서 $f(a) = -4$이고, $g(x)$가 $x=a$에서 최솟값을 갖는다고 한다면, 이때 이차함수 $f(x)$의 그래프는 위로 볼록할까요, 아니면 아래로 볼록할까요? 그 이유는 무엇일까요? (1단계에서 구한 $h(t)$의 증감표를 참고해 보세요!)