어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 삼차함수 $f(x)$를 구한 뒤, 이를 이용해 정의된 주기함수 $g(x)$의 정적분 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 주기함수의 연속 조건: 주기함수가 실수 전체에서 연속이 되기 위한 경계에서의 조건 이해하기
- 삼각함수의 극한과 미분계수: 극한 식을 해석하여 함수의 특정 값과 미분계수 알아내기
- 주기함수의 정적분: 평행이동과 치환적분을 이용해 복잡한 구간의 정적분을 기본 구간 $[0, 1]$의 정적분으로 단순화하기
단계별 풀이
1단계: 주기함수 $g(x)$가 연속일 조건 파악하기
함수 $g(x)$는 $0 \le x < 1$에서 $g(x) = f(x)$이고, 주기가 $1$인 주기함수($g(x+1) = g(x)$)입니다.
이 함수가 실수 전체에서 연속이 되려면, 한 주기가 끝나는 $x \to 1^-$에서의 우극한(다음 주기의 시작점인 $x=0$에서의 값)과 좌극한이 같아야 합니다.
즉, 다음이 성립해야 합니다.
$$\lim_{x \to 1^-} g(x) = g(0) \implies f(1) = f(0)$$
2단계: 조건 (가)를 해석하여 $f(0)$과 $f'(0)$ 구하기
조건 (가)의 극한 식을 살펴봅시다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi \times f(x))}{x} = 0$$
$x \to 0$일 때 분모가 $0$으로 가므로, 극한값이 존재하려면 분자도 $0$으로 가야 합니다.
$$\lim_{x \to 0} \sin(\pi \times f(x)) = \sin(\pi \times f(0)) = 0$$
사인 함수가 $0$이 되려면 그 안의 각도가 $\pi$의 정수 배여야 합니다. 따라서 $f(0)$은 정수여야 합니다.
$$f(0) = n \quad (n \text{은 정수})$$
이제 $f(0) = n$임을 대입하여 극한 식을 다시 정리해 봅시다. 삼각함수의 성질 $\sin(\theta - n\pi) = (-1)^n \sin\theta$를 이용하기 위해 식을 변형합니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi f(x) - n\pi + n\pi)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(-1)^n \sin(\pi(f(x) - n))}{x} = 0$$
분모와 분자에 $\pi(f(x)-n)$을 맞춰주기 위해 식을 다음과 같이 변형합니다.
$$\lim_{x \to 0} \left[ (-1)^n \frac{\sin(\pi(f(x) - n))}{\pi(f(x) - n)} \times \frac{\pi(f(x) - f(0))}{x} \right] = 0$$
$x \to 0$일 때 $f(x) \to f(0) = n$이므로, 첫 번째 분수 부분은 $1$로 수렴합니다. 두 번째 분수 부분은 미분계수의 정의에 의해 $f'(0)$이 됩니다.
$$(-1)^n \times 1 \times \pi f'(0) = 0 \implies f'(0) = 0$$
따라서 우리는 두 가지 중요한 정보를 얻었습니다.
- $f(0) = f(1) = n$ ($n$은 정수)
- $f'(0) = 0$
3단계: 삼차함수 $f(x)$의 식 세우기
최고차항의 계수가 $9$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여, $f(x) - n = 0$이라는 방정식은 $x=0$에서 접하고(이유: $f'(0)=0, f(0)=n$), $x=1$을 근으로 가집니다(이유: $f(1)=n$).
따라서 $f(x)$를 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$f(x) - n = 9x^2(x - 1)$$
$$f(x) = 9x^3 - 9x^2 + n$$
4단계: 조건 (나)를 이용해 정수 $n$ 구하기
$f(x)$의 극값을 구하기 위해 미분합니다.
$$f'(x) = 27x^2 - 18x = 9x(3x - 2)$$
$f'(x) = 0$이 되는 $x$는 $x=0$ 또는 $x=\frac{2}{3}$입니다.
- 극댓값: $f(0) = n$
- 극솟값: $f\left(\frac{2}{3}\right) = 9\left(\frac{8}{27}\right) - 9\left(\frac{4}{9}\right) + n = \frac{8}{3} - 4 + n = n - \frac{4}{3}$
조건 (나)에서 극댓값과 극솟값의 곱이 $5$라고 했으므로,
$$n\left(n - \frac{4}{3}\right) = 5$$
$$3n^2 - 4n - 15 = 0$$
$$(3n + 5)(n - 3) = 0$$
$n$은 정수여야 하므로, **$n = 3$**입니다.
따라서 구하고자 하는 삼차함수는 다음과 같습니다.
$$f(x) = 9x^3 - 9x^2 + 3$$
5단계: 주기성을 이용하여 정적분 계산하기
우리가 구해야 할 값은 $\int_{0}^{5} x g(x) dx$입니다. 구간을 $1$ 간격으로 나누어 써 봅시다.
$$\int_{0}^{5} x g(x) dx = \sum_{k=0}^{4} \int_{k}^{k+1} x g(x) dx$$
각 구간 $[k, k+1]$에서 $x = u + k$로 치환적분을 해 봅시다. ($dx = du$, $x: k \to k+1$ 일 때 $u: 0 \to 1$)
또한, $g(x)$는 주기가 $1$이므로 $g(u+k) = g(u) = f(u)$가 성립합니다.
$$\int_{k}^{k+1} x g(x) dx = \int_{0}^{1} (u+k) g(u+k) du = \int_{0}^{1} (u+k) f(u) du$$
$$= \int_{0}^{1} u f(u) du + k \int_{0}^{1} f(u) du$$
이 식을 $k=0$부터 $4$까지 모두 더해줍니다.
$$\int_{0}^{5} x g(x) dx = \sum_{k=0}^{4} \left( \int_{0}^{1} x f(x) dx + k \int_{0}^{1} f(x) dx \right)$$
$$= 5 \int_{0}^{1} x f(x) dx + \left( \sum_{k=0}^{4} k \right) \int_{0}^{1} f(x) dx$$
이때 $\sum_{k=0}^{4} k = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$이므로, 식은 다음과 같이 단순해집니다.
$$\int_{0}^{5} x g(x) dx = 5 \int_{0}^{1} x f(x) dx + 10 \int_{0}^{1} f(x) dx$$
6단계: 최종 계산하기
이제 두 개의 정적분 값을 각각 계산해 봅시다.
- $\int_{0}^{1} f(x) dx$ 계산:
$$\int_{0}^{1} (9x^3 - 9x^2 + 3) dx = \left[ \frac{9}{4}x^4 - 3x^3 + 3x \right]_0^1 = \frac{9}{4} - 3 + 3 = \frac{9}{4}$$
- $\int_{0}^{1} x f(x) dx$ 계산:
$$\int_{0}^{1} (9x^4 - 9x^3 + 3x) dx = \left[ \frac{9}{5}x^5 - \frac{9}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{9}{5} - \frac{9}{4} + \frac{3}{2}$$
통분하여 계산하면,
$$\frac{36 - 45 + 30}{20} = \frac{21}{20}$$
이 값들을 대입합니다.
$$\int_{0}^{5} x g(x) dx = 5 \left(\frac{21}{20}\right) + 10 \left(\frac{9}{4}\right) = \frac{21}{4} + \frac{90}{4} = \frac{111}{4}$$
따라서 $\frac{q}{p} = \frac{111}{4}$ 이며, $4$와 $111$은 서로소인 자연수이므로 $p=4, q=111$입니다.
최종 구하는 값은 $p+q = 4 + 111 = 115$입니다.
답
$$115$$
확인해보기
질문: 함수 $g(x)$가 주기가 $1$인 주기함수일 때, 치환적분을 이용하여 다음 등식이 성립하는 이유를 설명해 보세요.
$$\int_{1}^{2} (x-1)g(x)dx = \int_{0}^{1} x g(x)dx$$