어떤 문제인가
이 문제는 거듭제곱근과 음수 지수가 섞여 있는 식을 지수법칙을 이용하여 간단히 정리하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음 3가지입니다:
- 거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸기: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ (단, $a > 0$)
- 역수를 음수 지수로 바꾸기: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$
- 밑이 같은 지수끼리의 곱셈: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
이 개념들을 하나씩 적용하면 복잡해 보이는 식도 아주 쉽게 풀 수 있습니다. 같이 차근차근 해결해 봅시다!
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 항인 $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$을 지수 형태로 바꾸기
먼저 분모에 있는 거듭제곱근 $\sqrt[4]{3}$을 분수 지수로 바꾸어 줍니다.
$$\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$$
이것을 원래 식의 분모에 대입하면 다음과 같습니다.
$$\frac{1}{\sqrt[4]{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{4}}}$$
분수 형태(역수)는 음수 지수를 사용해서 나타낼 수 있으므로, 최종적으로 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{1}{3^{\frac{1}{4}}} = 3^{-\frac{1}{4}}$$
2단계: 두 식의 곱을 지수법칙으로 계산하기
이제 원래 문제의 식에 1단계에서 구한 값을 대입하여 곱해 봅시다.
$$\frac{1}{\sqrt[4]{3}} \times 3^{-\frac{7}{4}} = 3^{-\frac{1}{4}} \times 3^{-\frac{7}{4}}$$
밑이 $3$으로 같으므로, 곱셈을 할 때는 지수끼리 더해주면 됩니다.
$$3^{-\frac{1}{4}} \times 3^{-\frac{7}{4}} = 3^{-\frac{1}{4} + \left(-\frac{7}{4}\right)}$$
지수 부분을 먼저 계산해 볼까요?
$$-\frac{1}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{8}{4} = -2$$
따라서 식은 다음과 같이 간단해집니다.
$$3^{-2}$$
3단계: 최종 값 구하기
음수 지수는 역수를 의미하므로, $3^{-2}$을 계산하면 다음과 같습니다.
$$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$
답
**① $\frac{1}{9}$**
확인해보기
오늘 배운 지수법칙을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> 질문: $\frac{1}{\sqrt[3]{5}} \times 5^{-\frac{2}{3}}$의 값은 무엇일까요? (방금 배운 단계대로 천천히 풀어보세요!)