어떤 문제인가
이 문제는 삼각함수의 그래프 성질을 이해하고, 이를 도형의 넓이 및 직선의 기울기와 연결하여 미지수의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **삼각함수 $y = a \sin(b\pi x)$의 주기와 최댓값**: 그래프가 어떻게 그려지는지 파악합니다.
- 삼각형의 넓이 공식: 밑변의 길이와 높이를 좌표를 통해 나타냅니다.
- 직선의 기울기: 원점과 곡선 위의 점을 잇는 직선의 기울기를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 곡선의 주기와 두 점 $\text{A}$, $\text{B}$의 좌표 구하기
먼저 함수 $y = a \sin b\pi x \; (a > 0, b > 0)$의 성질을 알아봅시다.
- 최댓값: $a \sin b\pi x$의 최댓값은 $a$입니다. 따라서 직선 $y=a$는 이 곡선의 가장 높은 점(극댓점)들과 접하게 됩니다.
- 주기: 사인함수의 기본 주기는 $2\pi$이므로, 이 함수의 주기 $T$는 다음과 같습니다.
$$T = \frac{2\pi}{b\pi} = \frac{2}{b}$$
주어진 $x$의 범위는 $0 \le x \le \frac{3}{b}$입니다. 주기가 $\frac{2}{b}$이므로, 이 범위는 $1.5$ 주기에 해당합니다.
이 범위 안에서 최댓값 $a$를 갖는 $x$의 값(즉, 사인값이 $1$이 되는 지점)은 첫 번째 주기와 두 번째 주기의 앞부분에서 각각 하나씩 나타납니다.
- 첫 번째 극댓점의 $x$좌표: 주기의 $\frac{1}{4}$ 지점이므로,
$$x_1 = \frac{1}{4} \times \frac{2}{b} = \frac{1}{2b}$$
- 두 번째 극댓점의 $x$좌표: 첫 번째 극댓점에서 한 주기($T = \frac{2}{b}$)만큼 더 간 지점이므로,
$$x_2 = \frac{1}{2b} + \frac{2}{b} = \frac{5}{2b}$$
따라서 두 점 $\text{A}$, $\text{B}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{A}\left(\frac{1}{2b}, a\right), \quad \text{B}\left(\frac{5}{2b}, a\right)$$
2단계: 삼각형 $\text{OAB}$의 넓이로 첫 번째 관계식 세우기
삼각형 $\text{OAB}$의 세 꼭짓점은 $\text{O}(0,0)$, $\text{A}\left(\frac{1}{2b}, a\right)$, $\text{B}\left(\frac{5}{2b}, a\right)$입니다.
- **밑변의 길이 ($\text{AB}$)**: 두 점 $\text{A}$, $\text{B}$의 $y$좌표가 $a$로 같으므로, 밑변의 길이는 두 점의 $x$좌표의 차이입니다.
$$\text{밑변} = \frac{5}{2b} - \frac{1}{2b} = \frac{4}{2b} = \frac{2}{b}$$
- 높이: 원점 $\text{O}$에서 직선 $y=a$까지의 거리이므로 높이는 $a$입니다.
삼각형의 넓이가 $5$라고 했으므로, 넓이 공식을 적용해 봅시다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{b} \times a = \frac{a}{b} = 5$$
이 식을 정리하면 첫 번째 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$a = 5b \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
3단계: 두 직선의 기울기의 곱으로 두 번째 관계식 세우기
원점 $\text{O}(0,0)$과 두 점 $\text{A}$, $\text{B}$를 지나는 직선의 기울기를 각각 구해봅시다.
- **직선 $\text{OA}$의 기울기**:
$$m_1 = \frac{a - 0}{\frac{1}{2b} - 0} = 2ab$$
- **직선 $\text{OB}$의 기울기**:
$$m_2 = \frac{a - 0}{\frac{5}{2b} - 0} = \frac{2ab}{5}$$
두 기울기의 곱이 $\frac{5}{4}$라고 했으므로 식을 세워봅니다.
$$m_1 \times m_2 = 2ab \times \frac{2ab}{5} = \frac{4a^2b^2}{5} = \frac{5}{4}$$
양변에 $\frac{5}{4}$를 곱하면 다음과 같습니다.
$$a^2b^2 = \frac{25}{16}$$
$a$와 $b$는 모두 양수이므로, 양의 제곱근을 취하면 두 번째 관계식을 얻습니다.
$$ab = \frac{5}{4} \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
4단계: 연립하여 $a$와 $b$의 값 구하기
이제 $\text{(식 1)}$을 $\text{(식 2)}$에 대입하여 문제를 해결해 봅시다.
$\text{(식 1)}$의 $a = 5b$를 $\text{(식 2)}$에 대입하면:
$$(5b) \times b = \frac{5}{4}$$
$$5b^2 = \frac{5}{4}$$
$$b^2 = \frac{1}{4}$$
$b > 0$이므로, $b = \frac{1}{2}$입니다.
이 값을 다시 $\text{(식 1)}$에 대입하면 $a$의 값을 구할 수 있습니다.
$$a = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$
따라서 우리가 구하고자 하는 $a+b$의 값은 다음과 같습니다.
$$a+b = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
답
정답은 **③ $3$** 입니다.
확인해보기
공부를 마친 후, 스스로 다음 질문에 답해 보며 개념을 잘 이해했는지 점검해 보세요!
> 질문: 만약 문제에서 $x$의 범위가 $0 \le x \le \frac{1}{b}$로 제한된다면, 곡선 $y = a \sin b\pi x$와 직선 $y=a$가 만나는 점은 몇 개가 될까요? 그 점의 좌표는 무엇일까요?