어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수가 포함된 등식에서 미지수와 함수를 찾아내는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 고등학교 수학II에서 배우는 다음 3가지 핵심 개념을 사용합니다.
- 정적분의 성질: 아래끝과 위끝이 같으면 정적분의 값은 $0$이 됩니다. 즉, $\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$입니다.
- 적분과 미분의 관계: 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수가 나옵니다. 즉, $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$입니다.
- 곱의 미분법: 두 함수의 곱을 미분하는 방법인 $(xf(x))' = f(x) + xf'(x)$를 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 식을 간단히 만들기 위해 $x=1$ 대입하기
주어진 등식의 우변에 $\int_{1}^{x} f(t) dt$라는 정적분 기호가 있습니다. 이 부분을 $0$으로 만들어 식을 단순하게 만들기 위해, 양변의 $x$에 $1$을 대입해 봅시다.
$$1 \cdot f(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 + 3a + \int_{1}^{1} f(t) dt$$
이때 $\int_{1}^{1} f(t) dt = 0$이므로, 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$f(1) = 2 + a + 3a$$
$$f(1) = 4a + 2 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: 양변을 $x$에 대해 미분하기
정적분 기호를 없애고 함수 $f(x)$의 정보를 더 얻기 위해, 처음 주어진 식의 양변을 $x$에 대해 미분합니다.
- 좌변 미분 (곱의 미분법):
$$\frac{d}{dx} [xf(x)] = f(x) + xf'(x)$$
- 우변 미분:
$$\frac{d}{dx} \left[ 2x^3 + ax^2 + 3a + \int_{1}^{x} f(t) dt \right] = 6x^2 + 2ax + f(x)$$
이제 좌변과 우변이 같다고 놓으면 다음과 같습니다.
$$f(x) + xf'(x) = 6x^2 + 2ax + f(x)$$
양변에서 똑같이 더해져 있는 $f(x)$를 빼서 없애줍니다.
$$xf'(x) = 6x^2 + 2ax$$
모든 실수 $x$에 대해 성립하므로, 양변을 $x$로 나누면 $f'(x)$를 구할 수 있습니다.
$$f'(x) = 6x + 2a$$
3단계: 부정적분을 통해 $f(x)$의 형태 구하기
도함수 $f'(x)$를 알았으니, 이를 부정적분하여 원래 함수 $f(x)$를 구합니다. (단, $C$는 적분상수입니다.)
$$f(x) = \int (6x + 2a) dx = 3x^2 + 2ax + C \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
4단계: 조건들을 연립하여 상수 $a$와 $C$ 구하기
이제 우리가 가진 단서들을 조합해 봅시다.
단서 A: (식 2)에 $x=1$을 대입한 값과 (식 1)의 값이 같아야 합니다.
$$f(1) = 3 + 2a + C$$
(식 1)에서 $f(1) = 4a + 2$라고 했으므로,
$$4a + 2 = 3 + 2a + C$$
$$C = 2a - 1 \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
이를 (식 2)에 대입하면 $f(x)$를 $a$에 대한 식으로만 나타낼 수 있습니다.
$$f(x) = 3x^2 + 2ax + (2a - 1)$$
단서 B: 문제에서 주어진 조건 $f(1) = \int_{0}^{1} f(t) dt$를 이용합니다.
먼저 우변의 정적분을 계산해 봅시다.
$$\int_{0}^{1} f(t) dt = \int_{0}^{1} (3t^2 + 2at + 2a - 1) dt$$
$$= \left[ t^3 + at^2 + (2a - 1)t \right]_{0}^{1}$$
$$= (1 + a + 2a - 1) - 0$$
$$= 3a$$
따라서 $f(1) = 3a$가 성립합니다.
우리는 이미 $f(1) = 4a + 2$임을 알고 있으므로, 두 식을 같다고 놓습니다.
$$4a + 2 = 3a$$
$$a = -2$$
5단계: $f(3)$ 구하고 최종 답 계산하기
구한 $a = -2$를 $f(x)$ 식에 대입하여 함수를 완성합니다.
$$f(x) = 3x^2 + 2(-2)x + (2(-2) - 1)$$
$$f(x) = 3x^2 - 4x - 5$$
이제 $f(3)$의 값을 구합니다.
$$f(3) = 3(3)^2 - 4(3) - 5 = 27 - 12 - 5 = 10$$
최종적으로 구하고자 하는 값은 $a + f(3)$입니다.
$$a + f(3) = -2 + 10 = 8$$
답
정답은 ④ 8입니다.
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
> 함수 $g(x) = \int_{3}^{x} (2t - 4) dt$ 가 있을 때, 다음 두 질문에 답해 보세요.
> 1. $g(3)$의 값은 무엇일까요?
> 2. $g'(x)$는 무엇일까요?