어떤 문제인가
이 문제는 원에 내접하는 삼각형과 사각형의 성질을 이해하고, 삼각함수의 대표적인 공식인 사인법칙과 코사인법칙을 도구 삼아 원하는 선분의 길이를 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해 두어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 원에 내접하는 사각형의 성질: 원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 두 대각의 크기의 합은 항상 $180^\circ$ ($\pi$ 라디안)입니다.
- 사인법칙: 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 할 때, 삼각형의 변의 길이와 대각의 사인값 사이에는 $\frac{a}{\sin A} = 2R$이라는 관계가 성립합니다.
- 코사인법칙: 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있는 공식입니다 ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$).
단계별 풀이
1단계: 마주 보는 각의 성질을 이용해 $\angle BDC$ 구하기
사각형 $ABDC$는 원에 내접하는 사각형입니다. 점 $D$는 점 $A$의 맞은편 호 위에 있으므로, $\angle BAC$와 $\angle BDC$는 서로 마주 보는 대각 관계입니다.
원에 내접하는 사각형의 성질에 의해 두 대각의 합은 $\pi$가 됩니다.
$$\angle BAC + \angle BDC = \pi$$
문제에서 $\angle BAC = \angle A = \frac{\pi}{3}$라고 주어졌으므로,
$$\angle BDC = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$
임을 알 수 있습니다.
2단계: 사인법칙으로 선분 $\overline{BD}$와 $\overline{BC}$의 길이 구하기
삼각형 $BCD$의 외접원은 원래 반지름이 $R = 2\sqrt{7}$인 원과 같습니다. 따라서 삼각형 $BCD$에 사인법칙을 적용할 수 있습니다.
**첫째, 선분 $\overline{BD}$ 구하기**
사인법칙에 의해 다음이 성립합니다.
$$\frac{\overline{BD}}{\sin(\angle BCD)} = 2R$$
문제에서 $\sin(\angle BCD) = \frac{2\sqrt{7}}{7}$이고 $R = 2\sqrt{7}$이므로, 식을 대입해 봅니다.
$$\overline{BD} = 2R \cdot \sin(\angle BCD) = 2(2\sqrt{7}) \cdot \frac{2\sqrt{7}}{7}$$
$$\overline{BD} = 4\sqrt{7} \cdot \frac{2\sqrt{7}}{7} = \frac{8 \cdot 7}{7} = 8$$
**둘째, 선분 $\overline{BC}$ 구하기**
마찬가지로 사인법칙을 이용해 $\overline{BC}$의 길이도 구합니다.
$$\frac{\overline{BC}}{\sin(\angle BDC)} = 2R$$
1단계에서 구한 $\angle BDC = \frac{2\pi}{3}$를 대입합니다. ($\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$입니다.)
$$\overline{BC} = 2R \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 2(2\sqrt{7}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\overline{BC} = 2\sqrt{21}$$
3단계: 코사인법칙으로 선분 $\overline{CD}$의 길이 구하기
이제 삼각형 $BCD$에서 우리가 아는 정보들을 모아봅시다.
- $\overline{BD} = 8$
- $\overline{BC} = 2\sqrt{21}$
- $\angle BDC = \frac{2\pi}{3}$
우리가 구하고자 하는 선분 $\overline{CD}$의 길이를 $x$ ($x > 0$)라고 두고, $\angle BDC$를 기준으로 코사인법칙을 적용합니다.
$$\overline{BC}^2 = \overline{BD}^2 + \overline{CD}^2 - 2 \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CD} \cdot \cos(\angle BDC)$$
구한 값들을 대입해 볼까요? ($\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$입니다.)
$$(2\sqrt{21})^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$$
$$84 = 64 + x^2 - 16x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$84 = 64 + x^2 + 8x$$
우변으로 식을 정리하여 이차방정식을 만듭니다.
$$x^2 + 8x - 20 = 0$$
인수분해를 하면 다음과 같습니다.
$$(x + 10)(x - 2) = 0$$
선분의 길이 $x$는 항상 양수여야 하므로,
$$x = 2$$
즉, $\overline{CD} = 2$입니다.
4단계: 최종 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $\overline{BD} + \overline{CD}$입니다.
$$\overline{BD} + \overline{CD} = 8 + 2 = 10$$
답
② $10$
확인해보기
공부를 마친 후, 스스로 다음 질문에 답해 보며 개념을 잘 이해했는지 점검해 보세요.
> 질문: 원에 내접하는 사각형 $ABCD$가 있습니다. 만약 $\angle A = 60^\circ$라면, 이 각과 마주 보고 있는 대각인 $\angle C$의 크기는 몇 도($^\circ$)가 되어야 할까요?