어떤 문제인가
이 문제는 등차수열의 성질과 합을 이용하여 조건에 맞는 공차 $d$를 찾는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a_1$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$입니다.
- 절댓값의 성질: $|x| = |y|$라는 것은 $x = y$이거나 $x = -y$임을 뜻합니다.
- 등차수열의 합의 최솟값: 첫째항이 음수이고 공차가 양수인 등차수열은 항의 값이 점점 커집니다. 이때, 합이 최소가 되는 순간은 음수인 항들만 모두 더했을 때입니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 이용하여 공차 $d$의 후보 구하기
조건 (가)는 $|a_m| = |a_{m+3}|$인 자연수 $m$이 존재한다고 합니다.
공차 $d$가 자연수(양수)이므로, 수열 $\{a_n\}$은 항이 진행될수록 값이 커지는 증가수열입니다. 따라서 $a_m < a_{m+3}$이 확실합니다.
두 값의 절댓값이 같으면서 서로 다른 값을 가지려면, 하나는 음수이고 다른 하나는 양수여야 합니다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$a_m = -a_{m+3} \implies a_m + a_{m+3} = 0$$
이제 등차수열의 일반항 공식 $a_n = -45 + (n-1)d$를 대입해 봅시다.
$$\{-45 + (m-1)d\} + \{-45 + (m+2)d\} = 0$$
$$-90 + (2m+1)d = 0$$
$$(2m+1)d = 90$$
여기서 $m$은 자연수이므로, $2m+1$은 3 이상의 홀수여야 합니다.
또한 $d$도 자연수이므로, $2m+1$은 $90$의 약수 중 3 이상의 홀수여야 합니다.
$90$의 약수 중 홀수는 $1, 3, 5, 9, 15, 45$입니다. 이 중 3 이상인 값들을 $2m+1$로 두고 각각의 $m$과 $d$를 구해봅시다.
- $2m+1 = 3 \implies m = 1, \quad d = 30$
- $2m+1 = 5 \implies m = 2, \quad d = 18$
- $2m+1 = 9 \implies m = 4, \quad d = 10$
- $2m+1 = 15 \implies m = 7, \quad d = 6$
- $2m+1 = 45 \implies m = 22, \quad d = 2$
따라서 공차 $d$가 될 수 있는 후보는 **$2, 6, 10, 18, 30$**입니다.
2단계: 조건 (나)를 이해하고 최솟값 생각하기
조건 (나)는 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} a_k > -100$을 만족해야 한다고 합니다. 즉, 첫째항부터 임의의 항까지 더했을 때 그 합이 절대로 $-100$ 이하로 내려가면 안 됩니다.
첫째항 $a_1 = -45$로 음수이고 공차 $d$는 양수이므로, 수열의 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$은 음수 항들을 더하는 동안 계속 작아지다가, 양수 항을 더하기 시작하면서 다시 커집니다.
따라서 **음수 항들만 모두 더했을 때(즉, 합의 최솟값)가 $-100$보다 크면**, 모든 $n$에 대해 합이 $-100$보다 크게 됩니다.
3단계: $d$의 후보들을 대입하여 조건 (나) 검증하기
1단계에서 구한 $d$의 후보들을 하나씩 검증해 봅시다.
- **$d = 30$일 때**
수열: $-45, -15, 15, 45, \dots$
합의 변화:
$S_1 = -45$
$S_2 = -45 + (-15) = -60$
$S_3 = -60 + 15 = -45$
최솟값은 $-60$이며, 이는 $-100$보다 크므로 **조건 만족 ($d=30$ 가능)**
- **$d = 18$일 때**
수열: $-45, -27, -9, 9, 27, \dots$
합의 변화:
$S_1 = -45$
$S_2 = -45 + (-27) = -72$
$S_3 = -72 + (-9) = -81$
$S_4 = -81 + 9 = -72$
최솟값은 $-81$이며, 이는 $-100$보다 크므로 **조건 만족 ($d=18$ 가능)**
- **$d = 10$일 때**
수열: $-45, -35, -25, -15, -5, 5, \dots$
합의 변화를 보면 음수 항들만 더했을 때:
$S_5 = -45 - 35 - 25 - 15 - 5 = -125$
최솟값이 $-125$로, $-100$보다 작아지므로 **조건 불만족 ($d=10$ 탈락)**
- **$d = 6, d = 2$일 때**
공차 $d$가 더 작아지면 음수인 항이 더 많아지고 그 절대치도 완만하게 줄어들므로, 합의 최솟값은 $-125$보다 훨씬 더 작아집니다. 따라서 이 값들도 조건 불만족입니다.
4단계: 모든 가능한 $d$의 합 구하기
조건을 만족하는 자연수 $d$는 $18$과 $30$뿐입니다.
따라서 구하고자 하는 모든 $d$의 값의 합은 다음과 같습니다.
$$18 + 30 = 48$$
답
**② $48$**
확인해보기
첫째항이 음수이고 공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$에서, 첫째항부터 제 $n$항까지의 합 $S_n$이 최소가 되도록 하는 $n$의 값은 수열의 항이 어떤 부호에서 어떤 부호로 바뀔 때 결정될까요? 스스로 생각해보세요.