어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 활용해 삼차함수 $f(x)$의 식을 구체화하고, 이를 바탕으로 새롭게 정의된 함수 $g(x)$의 성질(미분계수, 미분가능성, 정적분)을 하나씩 따져보는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 도함수를 통한 삼차함수의 결정: $f'(x)$의 정보를 통해 $f(x)$의 식을 세우는 방법
- 함수의 미분가능성: 분할된 함수가 경계점($x=0$)에서 미분가능하기 위한 조건
- 정적분의 계산과 평행이동: 평행이동된 함수의 정적분을 효율적으로 계산하는 방법
단계별 풀이
단계 1. 삼차함수 $f(x)$의 식 구하기
먼저 삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $1$이므로, $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 꼴입니다.
이를 미분한 도함수 $f'(x)$는 이차항의 계수가 $3$인 이차함수가 됩니다.
문제에서 $f'(0) = f'(2) = 0$이라고 했으므로, $f'(x)$는 $x$와 $x-2$를 인수로 가집니다.
$$f'(x) = 3x(x-2) = 3x^2 - 6x$$
이제 $f'(x)$를 적분하여 $f(x)$를 구합니다 (단, $C$는 적분상수).
$$f(x) = x^3 - 3x^2 + C$$
단계 2. <보기> ㄱ 검증하기: $p=1$일 때, $g'(1)=0$인가?
$g(x)$의 정의에서 $x > 0$일 때의 식을 보겠습니다.
$$g(x) = f(x+p) - f(p) \quad (x > 0)$$
양변을 $x$에 대해 미분하면 (우변의 $f(p)$는 상수이므로 미분하면 $0$이 됩니다):
$$g'(x) = f'(x+p) \quad (x > 0)$$
여기에 $p=1$을 대입하고, $x=1$에서의 미분계수를 구해보면:
$$g'(1) = f'(1+1) = f'(2)$$
단계 1에서 $f'(2) = 0$임을 알고 있으므로, $g'(1) = 0$이 성립합니다.
따라서 ㄱ은 참입니다.
단계 3. <보기> ㄴ 검증하기: $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능하도록 하는 양수 $p$의 개수는 $1$인가?
함수 $g(x)$는 $x < 0$과 $x > 0$ 영역에서는 각각 삼차함수를 평행이동한 것이므로 항상 미분가능합니다. 따라서 경계점인 $x=0$에서만 미분가능하면 실수 전체에서 미분가능해집니다.
$x=0$에서 미분가능하려면 다음 두 조건이 필요합니다.
- 연속성: $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$
- 좌극한: $\lim_{x \to 0^-} (f(x) - f(0)) = 0$
- 우극한: $\lim_{x \to 0^+} (f(x+p) - f(p)) = 0$
- $g(0) = f(0) - f(0) = 0$이므로 항상 연속입니다.
- 미분계수의 일치 (좌미분계수 = 우미분계수):
- $x < 0$ 일 때, $g'(x) = f'(x)$ 이므로 좌미분계수는 $\lim_{x \to 0^-} g'(x) = f'(0) = 0$ 입니다.
- $x > 0$ 일 때, $g'(x) = f'(x+p)$ 이므로 우미분계수는 $\lim_{x \to 0^+} g'(x) = f'(p)$ 입니다.
따라서 $x=0$에서 미분가능하려면 다음이 성립해야 합니다.
$$f'(p) = 0$$
단계 1에서 $f'(x) = 3x(x-2)$였으므로, $f'(p) = 3p(p-2) = 0$이 되는 $p$의 값은 $p=0$ 또는 $p=2$입니다.
문제에서 $p$는 양수라고 했으므로, 조건을 만족하는 $p$는 $2$ 하나뿐입니다.
따라서 ㄴ은 참입니다.
단계 4. <보기> ㄷ 검증하기: $p \ge 2$일 때, $\int_{-1}^{1} g(x) dx \ge 0$인가?
구하고자 하는 정적분 식을 $x=0$을 기준으로 나누어 써봅시다.
$$\int_{-1}^{1} g(x) dx = \int_{-1}^{0} g(x) dx + \int_{0}^{1} g(x) dx$$
각각 나누어 계산해 보겠습니다.
1) 음수 영역의 정적분:
$x \le 0$일 때 $g(x) = f(x) - f(0) = (x^3 - 3x^2 + C) - C = x^3 - 3x^2$ 입니다.
$$\int_{-1}^{0} (x^3 - 3x^2) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} + 1 \right) = -\frac{5}{4}$$
2) 양수 영역의 정적분:
$x > 0$일 때 $g(x) = f(x+p) - f(p)$ 입니다.
$$\int_{0}^{1} (f(x+p) - f(p)) dx = \int_{0}^{1} f(x+p) dx - \int_{0}^{1} f(p) dx$$
여기서 $f(x+p)$의 정적분은 $x+p = t$로 치환하면 구간이 $[p, p+1]$로 바뀝니다.
$$\int_{0}^{1} f(x+p) dx = \int_{p}^{p+1} f(t) dt$$
또한, $f(p)$는 상수이므로 $\int_{0}^{1} f(p) dx = f(p)$ 입니다.
따라서 양수 영역의 정적분 값은 다음과 같습니다.
$$\int_{p}^{p+1} (t^3 - 3t^2 + C) dt - (p^3 - 3p^2 + C)$$
적분상수 $C$는 서로 지워지므로 계산하면 다음과 같이 $p$에 대한 식으로 정리됩니다.
$$\left[ \frac{1}{4}t^4 - t^3 \right]_{p}^{p+1} - (p^3 - 3p^2)$$
$$= \frac{1}{4}\{(p+1)^4 - p^4\} - \{(p+1)^3 - p^3\} - p^3 + 3p^2$$
이 식을 전개하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$= \frac{3}{2}p^2 - 2p - \frac{3}{4}$$
3) 전체 정적분 값 합치기:
이제 두 영역의 합을 $h(p)$라고 해봅시다.
$$h(p) = -\frac{5}{4} + \left( \frac{3}{2}p^2 - 2p - \frac{3}{4} \right) = \frac{3}{2}p^2 - 2p - 2$$
우리는 $p \ge 2$일 때 이 값 $h(p)$가 $0$ 이상인지 확인해야 합니다.
이차함수 $h(p) = \frac{3}{2}p^2 - 2p - 2$의 축의 방정식은 $p = \frac{2}{3}$입니다.
따라서 $p \ge 2$인 범위에서 이 함수는 증가하는 상태입니다.
가장 작은 값인 $p=2$를 대입해 보면:
$$h(2) = \frac{3}{2}(4) - 2(2) - 2 = 6 - 4 - 2 = 0$$
$p \ge 2$에서 $h(p)$는 증가하므로, 모든 $p \ge 2$에 대해 $h(p) \ge h(2) = 0$이 성립합니다.
따라서 ㄷ도 참입니다.
답
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
확인해보기
만약 문제에서 $p$가 '양수'라는 조건이 없고 '실수 전체'로 주어졌다면, 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 $p$의 개수는 몇 개가 될까요? (위 풀이의 단계 3를 다시 읽어보며 스스로 생각해보세요!)