어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 수열의 첫째항 $a_1$을 구하는 문제입니다. 우리가 집중해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 그래프와 교점: $a_{n+1}$을 $a_n$에 대한 함수 $f(a_n)$으로 생각하고, 조건 $a_5 + a_6 = 0$을 만족하는 $a_5$의 값을 먼저 찾아냅니다.
- 역추적(Backward Tracing): 구한 $a_5$의 값으로부터 거꾸로 거슬러 올라가며 $a_4, a_3, a_2, a_1$이 될 수 있는 후보들을 구합니다.
- 조건에 따른 필터링: 구한 후보들 중 수열의 합이 양수($\sum_{k=1}^{5} a_k > 0$)가 되는 진짜 $a_1$들만 골라냅니다.
단계별 풀이
1단계: $a_5$의 값 결정하기
문제에서 $a_5 + a_6 = 0$이라고 했습니다. 즉, $a_6 = -a_5$입니다.
주어진 수열의 규칙을 함수 $f(x)$로 정의해 봅시다.
$$f(x) = \begin{cases} -2x - 2 & \left(-1 \le x < -\frac{1}{2}\right) \\ 2x & \left(-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\right) \\ -2x + 2 & \left(\frac{1}{2} < x \le 1\right) \end{cases}$$
이때 $a_6 = f(a_5)$이므로, 우리가 풀어야 할 방정식은 **$f(a_5) = -a_5$**입니다. 즉, 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = -x$의 교점을 찾아야 합니다.
- **범위 1) $-1 \le x < -\frac{1}{2}$ 일 때:**
$-2x - 2 = -x \implies x = -2$ (범위에 맞지 않음)
- **범위 2) $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$ 일 때:**
$2x = -x \implies 3x = 0 \implies x = 0$ (범위에 맞음!)
- **범위 3) $\frac{1}{2} < x \le 1$ 일 때:**
$-2x + 2 = -x \implies x = 2$ (범위에 맞지 않음)
따라서 이를 만족하는 유일한 값은 **$a_5 = 0$**입니다. (자동으로 $a_6 = 0$이 됩니다.)
2단계: $a_5 = 0$에서부터 역추적하기
이제 $a_5 = 0$이 되는 $a_4, a_3, a_2, a_1$을 거꾸로 찾아봅시다.
함수 $f(x)$의 성질을 이용해 역함수 관계를 정리하면 다음과 같습니다.
- $f(x) = 0 \implies x \in \{-1, 0, 1\}$
- $f(x) = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$
- $f(x) = 1 \implies x = \frac{1}{2}$
- $f(x) = -\frac{1}{2} \implies x \in \left\{-\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}\right\}$
- $f(x) = \frac{1}{2} \implies x \in \left\{\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right\}$
이 규칙을 바탕으로 $a_4$의 값에 따라 가지(Branch)를 나누어 추적해 봅시다. 우리가 원하는 최종 조건은 **$\sum_{k=1}^{5} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 > 0$**입니다. ($a_5 = 0$이므로 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 > 0$이어야 합니다.)
3단계: 각 가지별 $a_1$ 구하기 및 합 조건 확인
**[경우 A] $a_4 = -1$ 인 경우**
- $a_4 = -1 \implies a_3 = -\frac{1}{2}$
- $a_3 = -\frac{1}{2} \implies a_2 \in \left\{-\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}\right\}$
- 이 경우, 모든 항이 음수가 되므로 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 > 0$을 만족할 수 없습니다. (탈락!)
**[경우 B] $a_4 = 0$ 인 경우**
$a_3$은 $-1, 0, 1$이 될 수 있습니다.
- **$a_3 = -1$ 일 때:**
* $a_2 = -\frac{1}{2} \implies a_1 < 0$이 되므로 합이 음수가 되어 탈락합니다.
- **$a_3 = 0$ 일 때:**
* $a_2 = -1 \implies a_1 = -\frac{1}{2}$ (합이 음수이므로 탈락)
* $a_2 = 0 \implies a_1 \in \{-1, 0, 1\}$ 중 합이 양수가 되는 것은 **$a_1 = 1$** (합: $1+0+0+0 = 1 > 0$)
* $a_2 = 1 \implies a_1 = \frac{1}{2}$ (합: $\frac{1}{2}+1+0+0 = \frac{3}{2} > 0$) $\implies$ **$a_1 = \frac{1}{2}$**
- **$a_3 = 1$ 일 때:**
* $a_2 = \frac{1}{2} \implies a_1 \in \left\{\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right\}$
* $a_1 = \frac{1}{4}$ (합: $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1+0 = \frac{7}{4} > 0$) $\implies$ **$a_1 = \frac{1}{4}$**
* $a_1 = \frac{3}{4}$ (합: $\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+1+0 = \frac{9}{4} > 0$) $\implies$ **$a_1 = \frac{3}{4}$**
**[경우 C] $a_4 = 1$ 인 경우**
- $a_4 = 1 \implies a_3 = \frac{1}{2}$
- $a_3 = \frac{1}{2} \implies a_2 \in \left\{\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right\}$
- **$a_2 = \frac{1}{4}$ 일 때:**
* $a_1 \in \left\{\frac{1}{8}, \frac{7}{8}\right\}$
* 두 경우 모두 모든 항이 양수이므로 합이 당연히 양수입니다. $\implies$ **$a_1 = \frac{1}{8}, \frac{7}{8}$**
- **$a_2 = \frac{3}{4}$ 일 때:**
* $a_1 \in \left\{\frac{3}{8}, \frac{5}{8}\right\}$
* 이 경우 역시 모든 항이 양수이므로 합이 양수입니다. $\implies$ **$a_1 = \frac{3}{8}, \frac{5}{8}$**
4단계: 가능한 모든 $a_1$의 합 구하기
조건을 만족하는 모든 $a_1$의 값을 모아보면 다음과 같습니다.
$$a_1 \in \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{7}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8} \right\}$$
이 값들을 모두 더해봅시다. 계산을 쉽게 하기 위해 짝을 지어 더해볼까요?
- $1$
- $\frac{1}{2}$
- $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
- $\frac{1}{8} + \frac{7}{8} = 1$
- $\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1$
따라서 모든 $a_1$의 합은 다음과 같습니다.
$$\text{합} = 1 + \frac{1}{2} + 1 + 1 + 1 = \frac{9}{2}$$
답
정답은 **① $\frac{9}{2}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 역추적 방법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다!
질문: 만약 문제의 조건이 $a_5 + a_6 = 0$ 대신 **$a_4 + a_5 = 0$ 이고, $\sum_{k=1}^{4} a_k > 0$** 이었다면, $a_4$의 값은 무엇이 되어야 하며, 이때 가능한 $a_1$의 값은 총 몇 개가 존재할까요? (직접 수형도를 그려서 확인해 보세요!)