어떤 문제인가
이 문제는 로그의 성질을 이용하여 복잡해 보이는 로그 식을 간단하게 정리하고 그 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 로그 앞의 계수를 진수의 지수로 올리기: $k \log_a x = \log_a (x^k)$
- 밑이 같은 로그의 뺄셈 (진수의 나눗셈): $\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$
- 로그의 기본 정의: $\log_a (a^n) = n$
단계별 풀이
1단계: 로그 앞의 숫자를 진수의 지수로 올리기
식 $\log_2 100 - 2\log_2 5$에서 빼는 부분인 $2\log_2 5$를 먼저 정리해 봅시다.
로그 앞에 곱해진 숫자 $2$는 로그 기호 안의 숫자(진수)인 $5$의 지수로 올라갈 수 있습니다.
$$2\log_2 5 = \log_2 (5^2) = \log_2 25$$
따라서 원래 식은 다음과 같이 바뀝니다:
$$\log_2 100 - \log_2 25$$
2단계: 로그의 뺄셈 성질 적용하기
이제 두 로그의 밑이 $2$로 서로 같습니다. 밑이 같은 두 로그를 뺄 때는, 진수끼리 나누어 하나의 로그로 합칠 수 있습니다.
$$\log_2 100 - \log_2 25 = \log_2 \left(\frac{100}{25}\right)$$
3단계: 약분하고 최종 값 구하기
진수인 분수 $\frac{100}{25}$를 계산하면 $4$가 됩니다.
$$\log_2 \left(\frac{100}{25}\right) = \log_2 4$$
여기서 $4$는 $2^2$으로 나타낼 수 있으므로, 로그의 정의를 이용해 최종 값을 구합니다.
$$\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$$
답
$$2$$
확인해보기
오늘 배운 로그의 성질을 잘 이해했는지 확인해 볼까요? 다음 식의 값을 스스로 구해 보세요.
> 질문: $\log_3 18 - \log_3 2$의 값은 무엇일까요?