어떤 문제인가
이 문제는 도함수(미분한 함수) $f'(x)$가 주어졌을 때, 원래의 함수 $f(x)$를 구하고 특정 함숫값을 찾는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 도함수 $f'(x)$를 원래 함수 $f(x)$로 되돌리는 연산입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 부정적분을 할 때 생기는 임의의 상수입니다.
- 함숫값 대입: 주어진 조건 $f(0) = 3$을 이용해 적분상수를 구한 뒤, 최종적으로 구하고자 하는 $f(1)$을 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$를 적분하여 원래 함수 $f(x)$의 형태 구하기
미분하기 전의 함수 $f(x)$를 찾기 위해 $f'(x)$를 $x$에 대해 적분합니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (8x^3 - 12x^2 + 7) \, dx$$
다항함수의 적분 공식 $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ (단, $C$는 적분상수)를 이용하여 각 항을 적분해 봅시다.
$$f(x) = 8 \cdot \left(\frac{1}{4}x^4\right) - 12 \cdot \left(\frac{1}{3}x^3\right) + 7x + C$$
식의 계수를 정리하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 7x + C$$
2단계: 조건 $f(0) = 3$을 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
우리가 구한 $f(x)$에는 아직 알지 못하는 상수 $C$가 있습니다. 문제에서 준 조건인 $f(0) = 3$을 대입하여 $C$의 값을 구합니다.
$f(x)$에 $x = 0$을 대입해 봅시다.
$$f(0) = 2(0)^4 - 4(0)^3 + 7(0) + C = C$$
문제에서 $f(0) = 3$이라고 했으므로, 적분상수 $C$는 다음과 같습니다.
$$C = 3$$
따라서 완벽한 함수 $f(x)$의 식은 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 7x + 3$$
3단계: $f(1)$의 값 계산하기
이제 구한 함수 $f(x)$에 $x = 1$을 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$f(1) = 2(1)^4 - 4(1)^3 + 7(1) + 3$$
$$f(1) = 2 - 4 + 7 + 3$$
$$f(1) = 8$$
답
$$8$$
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 확인해 봅시다.
> 질문: 만약 문제에서 다른 조건은 모두 같고 $f(0) = 5$로 주어졌다면, $f(1)$의 값은 어떻게 변할까요? 직접 계산해 보세요.