어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 **시그마($\sum$)의 성질**을 잘 이해하고 있는지 묻는 문제입니다. 복잡해 보이지만, 시그마의 성질을 이용해 식을 단순하게 바꾸면 중학교 때 배운 연립방정식 문제로 바뀐답니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 시그마의 선형성(분배법칙): $\sum (x_k \pm y_k) = \sum x_k \pm \sum y_k$ 이고, $\sum c \cdot x_k = c \sum x_k$ (단, $c$는 상수)입니다.
- 상수의 시그마 계산: $\sum_{k=1}^{n} c = c \times n$ (상수 $c$를 $n$번 더한다는 뜻입니다.)
단계별 풀이
1단계: 복잡한 시그마 식을 단순하게 치환하기
시그마 기호를 계속 쓰고 다니면 계산이 복잡해 보일 수 있어요. 그래서 우리가 구하고자 하는 핵심 덩어리를 문자 하나로 치환해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{10} a_k = A, \quad \sum_{k=1}^{10} b_k = B$$
라고 놓겠습니다.
시그마의 성질에 의해 합과 실수배는 각각 분리할 수 있으므로, 문제에서 주어진 두 식을 $A$와 $B$로 나타낼 수 있습니다.
첫 번째 식:
$$\sum_{k=1}^{10} (a_k + 2b_k) = \sum_{k=1}^{10} a_k + 2\sum_{k=1}^{10} b_k = 45$$
이것을 치환한 문자로 쓰면 다음과 같습니다.
$$A + 2B = 45 \quad \text{--- (1)}$$
두 번째 식:
$$\sum_{k=1}^{10} (a_k - b_k) = \sum_{k=1}^{10} a_k - \sum_{k=1}^{10} b_k = 3$$
이것 역시 치환한 문자로 쓰면 다음과 같습니다.
$$A - B = 3 \quad \text{--- (2)}$$
2단계: 연립방정식을 풀어 $B$의 값 구하기
우리가 최종적으로 구해야 하는 식에는 $b_k$가 들어있으므로, $B$의 값을 구해야 합니다.
식 (1)에서 식 (2)를 빼서 $A$를 없애봅시다.
$$(A + 2B) - (A - B) = 45 - 3$$
$$3B = 42$$
$$B = 14$$
따라서, $\sum_{k=1}^{10} b_k = 14$ 임을 알게 되었습니다.
3단계: 구하고자 하는 식 계산하기
이제 문제에서 요구한 식을 계산해 봅시다. 구하고자 하는 식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{10} \left(b_k - \frac{1}{2}\right)$$
시그마의 성질을 이용해 이 식을 두 부분으로 나누어 씁니다.
$$\sum_{k=1}^{10} b_k - \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{2}$$
여기서 뒷부분인 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{2}$은 **$\frac{1}{2}$이라는 상수를 10번 더한다**는 뜻입니다. 즉, 다음과 같이 계산됩니다.
$$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 10 = 5$$
이제 앞서 구한 $\sum_{k=1}^{10} b_k = 14$와 방금 계산한 값을 대입합니다.
$$14 - 5 = 9$$
답
$$9$$
확인해보기
오늘 배운 시그마의 성질을 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
> 질문: $\sum_{k=1}^{20} (x_k + 3) = 80$ 일 때, $\sum_{k=1}^{20} x_k$의 값은 얼마일까요? (상수 $3$이 몇 번 더해지는지 주의해서 계산해 보세요!)