어떤 문제인가
이 문제는 함수의 평균변화율과 특정 점에서의 순간변화율(미분계수)이 같아지도록 하는 실수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 평균변화율: 두 점을 잇는 직선의 기울기입니다. 구간 $[x_1, x_2]$에서 평균변화율은 $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$로 구합니다.
- 순간변화율 (미분계수): 곡선 위의 한 점에서 접선의 기울기이며, 함수를 미분한 뒤 $x=a$를 대입한 $f'(a)$로 구합니다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 두 근의 곱을 구할 때 직접 근을 구하지 않고도 계수만을 이용해 쉽게 구할 수 있는 공식입니다.
단계별 풀이
1단계: $x$의 값이 $0$에서 $4$까지 변할 때의 평균변화율 구하기
먼저 평균변화율의 정의를 이용해 $x$가 $0$에서 $4$까지 변할 때의 평균변화율을 계산해 봅시다.
공식은 다음과 같습니다.
$$\text{평균변화율} = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$$
이를 계산하기 위해 $f(4)$와 $f(0)$의 값을 각각 구합니다.
- $f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 = 0$
- $f(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 = 64 - 96 + 20 = -12$
이제 이 값들을 공식에 대입합니다.
$$\text{평균변화율} = \frac{-12 - 0}{4} = -3$$
2단계: 순간변화율 $f'(a)$ 구하기
이번에는 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구하고, $x=a$에서의 순간변화율 $f'(a)$를 식으로 나타내 봅시다.
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$ 이므로, 미분 공식($(x^n)' = n x^{n-1}$)을 적용하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 5$$
따라서 $x=a$에서의 순간변화율은 다음과 같습니다.
$$f'(a) = 3a^2 - 12a + 5$$
3단계: 평균변화율과 순간변화율이 같다는 식 세우기
문제에서 평균변화율과 $f'(a)$의 값이 같다고 했으므로, 1단계와 2단계에서 구한 값을 같다고 놓습니다.
$$3a^2 - 12a + 5 = -3$$
우변의 $-3$을 좌변으로 이항하여 정리하면 $a$에 대한 이차방정식이 만들어집니다.
$$3a^2 - 12a + 8 = 0$$
4단계: 조건 $0 < a < 4$를 만족하는지 확인하고 모든 $a$의 곱 구하기
이차방정식 $3a^2 - 12a + 8 = 0$을 만족하는 실근 $a$가 문제의 조건인 $0 < a < 4$ 범위 안에 모두 존재하는지 확인해야 합니다.
근의 공식을 사용하여 $a$의 값을 직접 구해봅시다.
$$a = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
여기서 $\sqrt{3} \approx 1.73$이므로, $\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \frac{3.46}{3} \approx 1.15$입니다.
- $a_1 = 2 - 1.15 = 0.85$ (범위 $0 < a < 4$에 포함됨)
- $a_2 = 2 + 1.15 = 3.15$ (범위 $0 < a < 4$에 포함됨)
두 근이 모두 범위 안에 존재하므로, 우리가 구하고자 하는 모든 실수 $a$의 곱은 이 이차방정식의 두 근의 곱과 같습니다.
이차방정식 $Ax^2 + Bx + C = 0$에서 두 근의 곱은 $\frac{C}{A}$이므로,
$$\text{두 근의 곱} = \frac{8}{3}$$
따라서 $\frac{q}{p} = \frac{8}{3}$입니다. $3$과 $8$은 서로소인 자연수이므로 $p=3$, $q=8$이 됩니다.
우리가 구해야 하는 값은 $p+q$이므로,
$$p+q = 3 + 8 = 11$$
답
$$11$$
확인해보기
이 문제에서 평균변화율과 순간변화율이 같아지는 $a$가 열린구간 $(0, 4)$에 적어도 하나 존재한다는 것을 보장해주는 미적분학의 매우 중요한 정리가 있습니다. 이 정리의 이름은 무엇일까요?