어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼차함수 $f(x)$를 미분하여 **도함수 $f'(x)$**를 구한 뒤, $x=1$일 때의 **미분계수 $f'(1)$**의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 다항함수의 미분법 (공식): $x^n$을 미분하면 $n x^{n-1}$이 되고, 상수를 미분하면 $0$이 됩니다. 즉, $(x^n)' = n x^{n-1}$ 이고, $(c)' = 0$ (단, $c$는 상수)입니다.
- 미분계수의 계산: 도함수 $f'(x)$를 구한 후, $x$ 자리에 원하는 값(여기서는 $1$)을 대입하여 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$ 구하기
함수 $f(x) = 2x^3 + 4x + 5$의 각 항을 미분법 공식을 이용해 하나씩 미분해 봅시다.
- 첫 번째 항 $2x^3$ 미분하기:
$$ (2x^3)' = 2 \times 3x^{3-1} = 6x^2 $$
- 두 번째 항 $4x$ 미분하기:
$$ (4x)' = 4 \times 1x^{1-1} = 4 $$
- 세 번째 항 $5$ (상수항) 미분하기:
상수를 미분하면 $0$이 됩니다.
$$ (5)' = 0 $$
이 세 결과를 모두 더하면 도함수 $f'(x)$를 얻을 수 있습니다.
$$ f'(x) = 6x^2 + 4 $$
2단계: $f'(1)$의 값 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $x=1$일 때의 미분계수인 $f'(1)$입니다. 방금 구한 도함수 $f'(x) = 6x^2 + 4$의 $x$ 자리에 $1$을 대입해 봅시다.
$$ f'(1) = 6 \times (1)^2 + 4 $$
$$ f'(1) = 6 \times 1 + 4 $$
$$ f'(1) = 6 + 4 = 10 $$
따라서 구하고자 하는 값은 $10$입니다.
답
⑤ $10$
확인해보기
오늘 배운 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
질문: 함수 $g(x) = 3x^2 - 5x + 7$이 있을 때, $g'(2)$의 값은 얼마일까요?
(위에서 배운 단계대로 도함수 $g'(x)$를 먼저 구한 뒤, $x=2$를 대입해 보세요!)