어떤 문제인가
이 문제는 주어진 방정식의 실근의 개수가 4개가 되도록 하는 정수 $k$의 조건을 찾는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 치환을 통한 식의 단순화: 복잡하게 반복되는 부분을 새로운 문자로 바꾸어 식을 보기 좋게 정리합니다.
- 절댓값 기호의 처리: 절댓값 안의 식의 부호에 따라 범위를 나누어 식을 구합니다.
- 함수의 그래프와 교점의 개수: 방정식의 실근의 개수를 두 함수의 그래프가 만나는 교점의 개수로 해석하여 시각적으로 해결합니다.
단계별 풀이
1단계: 복잡한 식을 치환하여 단순하게 만들기
주어진 방정식은 다음과 같습니다.
$$f(x) + |f(x) + x| = 6x + k$$
절댓값 기호 안에 $f(x) + x$가 들어있네요. 이 부분을 단순하게 만들기 위해 $g(x) = f(x) + x$라고 치환해 봅시다.
그러면 $f(x) = g(x) - x$가 되므로, 이 식을 원래 방정식에 대입해 정리할 수 있습니다.
$$(g(x) - x) + |g(x)| = 6x + k$$
$$g(x) + |g(x)| = 7x + k$$
우변의 $7x$를 좌변으로 넘겨서, $k$만 홀로 남겨봅시다.
$$g(x) + |g(x)| - 7x = k$$
이제 좌변 전체를 하나의 함수 $F(x) = g(x) + |g(x)| - 7x$라고 두면, 이 문제는 **함수 $y = F(x)$의 그래프와 직선 $y = k$의 교점이 4개가 되는 조건**을 찾는 문제로 바뀝니다!
2단계: $g(x)$의 식을 구하고 부호 판별하기
$F(x)$를 구하기 위해 먼저 $g(x)$가 어떤 식인지 알아봅시다. $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 10x$이므로,
$$g(x) = f(x) + x = \frac{1}{2}x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 11x$$
입니다. 식을 공통인수 $x$로 묶어볼까요?
$$g(x) = \frac{1}{2}x(x^2 - 9x + 22)$$
여기서 괄호 안의 이차식 $x^2 - 9x + 22$의 부호를 판별식($D$)으로 확인해 봅시다.
$$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 81 - 88 = -7 < 0$$
판별식이 음수이므로, 이차식 $x^2 - 9x + 22$는 모든 실수 $x$에 대해 항상 양수($>0$)입니다.
따라서 $g(x)$의 부호는 오직 맨 앞에 곱해진 $x$의 부호에 의해서만 결정됩니다!
- $x \ge 0$ 일 때, $g(x) \ge 0$
- $x < 0$ 일 때, $g(x) < 0$
3단계: 범위에 따라 함수 $F(x)$ 정의하기
이제 $g(x)$의 부호를 알았으니, 절댓값을 벗겨서 $F(x)$를 두 구간으로 나누어 정의할 수 있습니다.
**1) $x < 0$ 일 때 ($g(x) < 0$ 이므로 $|g(x)| = -g(x)$)**
$$F(x) = g(x) - g(x) - 7x = -7x$$
**2) $x \ge 0$ 일 때 ($g(x) \ge 0$ 이므로 $|g(x)| = g(x)$)**
$$F(x) = 2g(x) - 7x$$
여기에 $g(x)$ 식을 대입하면,
$$F(x) = 2\left(\frac{1}{2}x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 11x\right) - 7x = x^3 - 9x^2 + 15x$$
정리하면 다음과 같습니다.
$$F(x) = \begin{cases} -7x & (x < 0) \\ x^3 - 9x^2 + 15x & (x \ge 0) \end{cases}$$
4단계: $F(x)$의 그래프 그리기
이제 $y = F(x)$의 그래프를 그려봅시다. $x < 0$ 영역은 기울기가 $-7$인 직선이므로 쉽게 그릴 수 있습니다. $x \ge 0$ 영역의 삼차함수 그래프를 그리기 위해 미분을 해봅시다.
$$F'(x) = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x^2 - 6x + 5) = 3(x-1)(x-5)$$
$F'(x) = 0$이 되는 점은 $x = 1$과 $x = 5$입니다. 두 점 모두 $x \ge 0$ 영역에 속하네요. 극값의 위치를 알아봅시다.
- 극댓값: $F(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 15(1) = 7$
- 극솟값: $F(5) = 5^3 - 9(5)^2 + 15(5) = 125 - 225 + 75 = -25$
- 경계점: $F(0) = 0$
이 정보를 바탕으로 그래프의 개형을 머릿속에 그려봅시다.
- $x < 0$에서는 원점 $(0,0)$을 향해 아래로 내려오는 직선입니다.
- $x = 0$에서 출발하여 $x = 1$까지 올라가 극대점 $(1, 7)$을 찍습니다.
- $x = 1$에서 $x = 5$까지 내려가 극소점 $(5, -25)$를 찍습니다.
- $x = 5$ 이후로는 다시 위로 끝없이 올라갑니다.
5단계: 교점의 개수가 4개가 되는 $k$의 범위 구하기
이제 가로선 $y = k$를 그어가며 그래프 $y = F(x)$와의 교점이 4개가 되는 순간을 찾아봅시다.
- $k > 7$ 일 때: $x < 0$ 영역에서 1개, $x > 5$ 영역에서 1개 $\rightarrow$ 총 2개
- $k = 7$ 일 때: $x < 0$ 영역에서 1개, 극대점($x=1$)에서 접하며 1개, $x > 5$ 영역에서 1개 $\rightarrow$ 총 3개
- **$0 < k < 7$ 일 때**:
* $x < 0$ 영역에서 1개
* $0 < x < 1$ 영역에서 1개
* $1 < x < 5$ 영역에서 1개
* $x > 5$ 영역에서 1개 $\rightarrow$ 총 4개!
- $k = 0$ 일 때: 원점 $(0,0)$에서 1개, $1 < x < 5$ 영역에서 1개, $x > 5$ 영역에서 1개 $\rightarrow$ 총 3개
- $-25 < k < 0$ 일 때: $1 < x < 5$ 영역에서 1개, $x > 5$ 영역에서 1개 $\rightarrow$ 총 2개
따라서 서로 다른 실근의 개수(교점의 개수)가 4가 되도록 하는 $k$의 범위는 다음과 같습니다.
$$0 < k < 7$$
이 범위를 만족하는 모든 정수 $k$는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$입니다. 이 값들의 합을 구하면 됩니다.
$$\text{합} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$$
답
$$21$$
확인해보기
위에서 그린 $y = F(x)$의 그래프를 떠올려 보세요.
만약 문제에서 실근의 개수가 4개가 아니라 "서로 다른 실근의 개수가 3개"가 되도록 하는 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하라고 했다면, 그때 만족하는 정수 $k$는 어떤 값들이 있을까요? (스스로 그래프를 보고 $y=k$를 움직이며 찾아보세요!)