어떤 문제인가
이 문제는 지수함수와 로그함수의 그래프가 가진 기하학적 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 역함수 관계와 대칭성: 지수함수 $y = a^x$와 로그함수 $y = \log_a x$는 서로 역함수 관계이며, 직선 $y = x$에 대해 대칭입니다.
- 평행이동: 함수가 평행이동하면 대칭축도 함께 평행이동합니다.
- 점과 직선 사이의 거리: 삼각형의 높이를 구하기 위해 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 곡선의 대칭축 찾기
먼저 두 곡선 $y = a^{x-1}$과 $y = \log_a(x-1)$의 관계를 살펴봅시다.
기본형인 $y = a^x$와 $y = \log_a x$는 직선 $y = x$에 대해 대칭입니다.
두 곡선은 각각 기본형을 $x$축 방향으로 $+1$만큼 평행이동한 것입니다. 따라서 대칭축 역시 $x$축 방향으로 $+1$만큼 평행이동해야 합니다.
즉, 두 곡선은 직선 **$y = x - 1$**에 대해 서로 대칭입니다.
2단계: 점 $\text{A}$와 점 $\text{B}$의 좌표 구하기
직선 $y = -x + 4$의 기울기는 $-1$이고, 대칭축인 $y = x - 1$의 기울기는 $1$입니다. 두 직선의 기울기의 곱이 $-1$이므로 두 직선은 서로 수직입니다.
따라서 두 곡선 위의 교점 $\text{A}$와 $\text{B}$ 역시 직선 $y = x - 1$에 대해 서로 대칭입니다.
- **두 직선의 교점(중점 $\text{M}$) 구하기**
두 직선 $y = -x + 4$와 $y = x - 1$이 만나는 점을 $\text{M}$이라 하면,
$$-x + 4 = x - 1 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}$$
$$y = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$$
따라서 두 점 $\text{A}, \text{B}$의 중점은 $\text{M}\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$입니다.
- **$\text{A}$와 $\text{B}$의 좌표 결정하기**
문제에서 $\overline{\text{AB}} = 2\sqrt{2}$라고 했습니다. 점 $\text{M}$은 $\text{AB}$의 중점이므로 $\overline{\text{AM}} = \overline{\text{BM}} = \sqrt{2}$입니다.
직선 $y = -x + 4$의 기울기가 $-1$이므로, $\text{M}$에서 $x$축 방향으로 $-1$, $y$축 방향으로 $+1$만큼 이동하면 점 $\text{A}$를 얻을 수 있습니다. (피타고라스 정리에 의해 거리가 $\sqrt{2}$가 됩니다.)
$$\text{A} = \left(\frac{5}{2} - 1, \frac{3}{2} + 1\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$$
$$\text{B} = \left(\frac{5}{2} + 1, \frac{3}{2} - 1\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)$$
3단계: 밑 $a$의 값과 점 $\text{C}$의 좌표 구하기
점 $\text{A}\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$는 곡선 $y = a^{x-1}$ 위의 점이므로 대입해 봅시다.
$$\frac{5}{2} = a^{\frac{3}{2} - 1} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$$
양변을 제곱하면,
$$a = \frac{25}{4}$$
점 $\text{C}$는 곡선 $y = a^{x-1}$이 $y$축과 만나는 점($x=0$일 때의 점)이므로,
$$y = a^{0-1} = a^{-1} = \frac{1}{a} = \frac{4}{25}$$
따라서 점 $\text{C}$의 좌표는 $\text{C}\left(0, \frac{4}{25}\right)$입니다.
4단계: 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이 $S$ 구하기
삼각형 $\text{ABC}$에서 밑변을 $\overline{\text{AB}} = 2\sqrt{2}$로 잡으면, 높이 $h$는 점 $\text{C}\left(0, \frac{4}{25}\right)$에서 직선 $y = -x + 4$ (즉, $x + y - 4 = 0$)까지의 거리입니다.
점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하면,
$$h = \frac{\left| 0 + \frac{4}{25} - 4 \right|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\left| \frac{4 - 100}{25} \right|}{\sqrt{2}} = \frac{96}{25\sqrt{2}}$$
이제 삼각형의 넓이 $S$를 구해봅시다.
$$S = \frac{1}{2} \times \overline{\text{AB}} \times h = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \frac{96}{25\sqrt{2}} = \frac{96}{25}$$
최종적으로 구하고자 하는 값은 $50 \times S$이므로,
$$50 \times S = 50 \times \frac{96}{25} = 2 \times 96 = 192$$
답
$$192$$
확인해보기
만약 두 곡선이 $y = a^{x+2}$와 $y = \log_a(x+2)$로 주어졌다면, 이 두 곡선은 어떤 직선에 대하여 서로 대칭일까요? (오늘 배운 평행이동 개념을 적용해 스스로 생각해보세요!)