어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 삼차함수 $f(x)$를 구하고, 최종적으로 $f(5)$의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음의 3가지 핵심 개념을 이해하고 적용해야 합니다.
- 절댓값 함수의 우미분계수와 좌미분계수: 극한식으로 표현된 함수 $g(x)$의 일부분을 해석하여, 이 함수가 어떤 성질을 갖는지 파악합니다.
- 함수의 연속 조건: 곱해진 두 함수 중 하나가 불연속일 때, 전체 함수가 연속이 되기 위해 다른 함수가 가져야 하는 조건을 이용합니다.
- 삼차함수의 그래프와 비율 관계: 삼차함수의 극대·극소, 중근의 성질을 활용하여 구체적인 함수식을 찾아냅니다.
단계별 풀이
1단계: 극한식으로 정의된 부분 해석하기
먼저 $g(x)$ 식에서 극한 부분을 따로 떼어내어 $L(x)$라고 해봅시다.
$$L(x) = \lim_{h \to 0+} \frac{|f(x+h)| - |f(x-h)|}{h}$$
이 식의 의미를 이해하기 위해 분자에 $|f(x)|$를 더하고 빼서 식을 변형해 보겠습니다.
$$L(x) = \lim_{h \to 0+} \left( \frac{|f(x+h)| - |f(x)|}{h} + \frac{|f(x)| - |f(x-h)|}{h} \right)$$
여기서 $h \to 0+$이므로,
- 첫 번째 항은 $y = |f(x)|$의 우미분계수($F'_+(x)$)를 뜻합니다.
- 두 번째 항은 $y = |f(x)|$의 좌미분계수($F'_-(x)$)를 뜻합니다.
따라서 $L(x)$는 $y = |f(x)|$의 우미분계수와 좌미분계수의 합입니다. $f(x)$의 값에 따라 $L(x)$가 어떻게 변하는지 나누어 생각해 봅시다.
- **$f(x) > 0$일 때**: $|f(x)| = f(x)$이므로 미분가능합니다. 따라서 우미분계수와 좌미분계수가 모두 $f'(x)$로 같습니다.
$$L(x) = f'(x) + f'(x) = 2f'(x)$$
- **$f(x) < 0$일 때**: $|f(x)| = -f(x)$이므로 역시 미분가능합니다.
$$L(x) = -f'(x) - f'(x) = -2f'(x)$$
- **$f(x) = 0$일 때**:
- **$x$가 $f(x) = 0$의 단일근(통과하는 근)일 때**: $f'(x) \neq 0$입니다. 이때 $y = |f(x)|$ 그래프는 $x$축에서 꺾이므로 우미분계수와 좌미분계수의 부호가 반대가 됩니다. 즉, 한쪽이 $f'(x)$이면 다른 쪽은 $-f'(x)$가 되어 합은 $0$이 됩니다. ($L(x) = 0$)
- **$x$가 $f(x) = 0$의 중근일 때**: $f'(x) = 0$이므로 우미분계수와 좌미분계수 모두 $0$이 되어 합은 $0$이 됩니다. ($L(x) = 0$)
정리하면 다음과 같습니다.
$$L(x) = \begin{cases} 2f'(x) & (f(x) > 0) \\ -2f'(x) & (f(x) < 0) \\ 0 & (f(x) = 0) \end{cases}$$
2단계: $g(x)$의 연속성 조건 분석하기
함수 $g(x) = f(x-3) \times L(x)$가 실수 전체에서 연속이어야 합니다.
$L(x)$는 $f(x) > 0$인 구간과 $f(x) < 0$인 구간 경계, 즉 **$f(x) = 0$이 되는 지점**에서 불연속이 될 가능성이 있습니다.
- 만약 $x = c$가 $f(x) = 0$의 단일근이라면, $x \to c+$와 $x \to c-$일 때 $L(x)$의 값은 각각 $2f'(c)$와 $-2f'(c)$로 수렴하여 서로 다릅니다(불연속).
- 따라서 $g(x)$가 $x = c$에서 연속이 되려면, 곱해지는 앞의 항인 $f(x-3)$이 $0$이 되어 불연속성을 상쇄해주어야 합니다. 즉, **$f(c-3) = 0$**이어야 합니다.
- 반면, $x = c$가 $f(x) = 0$의 중근이라면 $f'(c) = 0$이므로 $L(x)$는 $x=c$에서 연속($0$으로 수렴)이 되어 $f(c-3) = 0$일 필요가 없습니다.
3단계: 삼차함수 $f(x)$의 근의 형태 결정하기
삼차함수 $f(x)$가 가질 수 있는 실근의 형태에 따라 나누어 봅시다.
- 서로 다른 세 실근을 가질 때: 세 실근을 $a < b < c$라 하면 모두 단일근입니다. 연속 조건에 의해 $f(a-3) = 0, f(b-3) = 0, f(c-3) = 0$이어야 하므로 $a-3, b-3, c-3$ 역시 $f(x)$의 근이어야 합니다. 하지만 이는 근이 계속해서 작아지며 무한히 많아져야 하므로 모순입니다.
- 실근을 1개만 가질 때: 단일근 하나만 존재한다면 역시 연속 조건을 만족할 수 없습니다. (삼중근인 경우는 뒤의 조건 (나)를 만족하지 못합니다.)
- 한 개의 중근과 한 개의 단일근을 가질 때:
중근을 $a$, 단일근을 $b$라고 합시다. 단일근 $b$에서만 $L(x)$가 불연속이므로, 연속 조건에 의해 다음이 성립해야 합니다.
$$f(b-3) = 0$$
$f(x) = 0$의 근은 $a$와 $b$뿐이므로, $b-3 = a$가 되어야 합니다. (만약 $b-3 = b$이면 $-3=0$이 되므로 불가능합니다.)
따라서 $b = a+3$이 됩니다.
이로써 $f(x)$의 식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$f(x) = (x-a)^2(x-a-3)$$
4단계: $g(x) = 0$의 근 구하기 (조건 나 활용)
$g(x) = f(x-3)L(x) = 0$이 되는 서로 다른 네 실근을 찾아봅시다.
- **$f(x-3) = 0$인 경우**:
$f(x) = 0$의 근이 $a, a+3$이므로, $x-3 = a$ 또는 $x-3 = a+3$입니다.
$$\therefore x = a+3, \quad x = a+6$$
- **$L(x) = 0$인 경우**:
$f(x) = 0$이거나 $f'(x) = 0$인 지점입니다.
- $f(x) = 0 \implies x = a, \quad x = a+3$
- $f'(x) = 0 \implies x = a$ (중근이므로 극점) 또는 또 다른 극점입니다.
삼차함수의 비율 관계(중근과 단일근 사이를 $2:1$로 내분하는 점이 극점)에 의해, 또 다른 극점은 $a$와 $a+3$을 $2:1$로 내분하는 점인 $x = a+2$입니다.
따라서 $L(x) = 0$의 근은 $x = a, a+2, a+3$입니다.
두 경우를 합집합하면 $g(x) = 0$의 서로 다른 실근은 다음과 같이 딱 4개가 나옵니다!
$$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 = a, \quad a+2, \quad a+3, \quad a+6$$
조건 (나)에서 이 네 근의 합이 $7$이라고 했습니다.
$$a + (a+2) + (a+3) + (a+6) = 7$$
$$4a + 11 = 7 \implies 4a = -4 \implies a = -1$$
5단계: $f(5)$의 값 계산하기
$a = -1$을 $f(x)$ 식에 대입하면 최종 함수식이 완성됩니다.
$$f(x) = (x+1)^2(x-2)$$
이제 $x = 5$를 대입하여 답을 구합니다.
$$f(5) = (5+1)^2 \times (5-2) = 6^2 \times 3 = 36 \times 3 = 108$$
답
$$108$$
확인해보기
질문: 만약 삼차함수 $f(x)$가 $x=1$에서 중근을 갖고, $x=4$에서 단일근을 갖는다고 해봅시다. 이때 함수 $L(x) = \lim_{h \to 0+} \frac{|f(x+h)| - |f(x-h)|}{h}$가 불연속이 되는 $x$의 값은 무엇이며, $g(x) = f(x-p)L(x)$가 실수 전체에서 연속이 되도록 하는 상수 $p$의 값은 무엇이어야 할까요? (스스로 생각해보세요!)