어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질을 이용하여 특정 항들의 비율을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a_1$이고 공비가 $r$인 등비수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$입니다.
- 등비수열의 나눗셈 성질: 등비수열에서 두 항의 나눗셈(비율)은 공비($r$)의 거듭제곱으로 간단하게 나타낼 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건을 첫째항($a_1$)과 공비($r$)로 나타내기
등비수열의 일반항 공식 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$을 이용하여 문제에서 주어진 $a_2$와 $a_4$를 첫째항 $a_1$과 공비 $r$로 표현해 봅시다.
- $a_2 = a_1 \cdot r$
- $a_4 = a_1 \cdot r^3$
문제에서 첫째항 $a_1 = 2$라고 알려주었으므로, 이를 대입하면 다음과 같습니다.
- $a_2 = 2r$
- $a_4 = 2r^3$
2단계: 주어진 식 $a_2 a_4 = 36$을 이용하여 $r$에 대한 식 만들기
이제 두 항의 곱이 $36$이라는 조건을 사용해 봅시다. 1단계에서 구한 식을 대입합니다.
$$a_2 \cdot a_4 = (2r) \cdot (2r^3) = 36$$
이를 정리하면,
$$4r^4 = 36$$
양변을 $4$로 나누면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$r^4 = 9$$
(여기서 $r$의 값을 직접 구하기 위해 제곱근을 계산할 수도 있지만, 다음 단계에서 무엇을 구해야 하는지 먼저 확인하면 계산을 훨씬 줄일 수 있습니다!)
3단계: 구하고자 하는 값 $\frac{a_7}{a_3}$ 정리하기
우리가 구해야 하는 값은 $\frac{a_7}{a_3}$입니다. 이 식도 첫째항과 공비로 나타내어 약분해 봅시다.
$$\frac{a_7}{a_3} = \frac{a_1 \cdot r^6}{a_1 \cdot r^2}$$
분모와 분자에서 $a_1$이 약분되고, 지수법칙에 의해 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{a_7}{a_3} = r^{6-2} = r^4$$
우리가 구하고자 하는 값이 바로 $r^4$이었네요! 2단계에서 우리는 이미 $r^4 = 9$라는 것을 구했습니다. 따라서 추가적인 계산 없이 바로 답을 찾을 수 있습니다.
$$\frac{a_7}{a_3} = r^4 = 9$$
답
⑤ $9$
확인해보기
공비가 $r$인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $\frac{a_{10}}{a_7}$은 공비 $r$을 사용하여 어떻게 나타낼 수 있을까요? 스스로 식을 세워 약분해 보세요.