어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위에 따라 다르게 정의된 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 연속성: 그래프가 끊어지지 않고 부드럽게 이어져 있는 것을 의미합니다.
- 한 점에서의 연속 조건: 함수 $f(x)$가 $x = c$에서 연속이려면, $x = c$에서의 좌극한, 우극한, 그리고 함숫값이 모두 같아야 합니다.
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$$
단계별 풀이
1단계: 연속성을 확인해야 하는 '경계점' 찾기
함수 $f(x)$를 구성하는 두 식 $2x+a$와 $x^2-5x-a$는 각각 일차함수와 이차함수이므로, 각각의 범위 안에서는 항상 연속입니다.
따라서 이 함수가 실수 전체에서 연속이 되려면, 식이 갈라지는 경계점인 **$x = -1$에서만 연속이면 됩니다.** 즉, $x = -1$에서 그래프가 끊어지지 않고 만나야 합니다.
이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1)$$
2단계: $x = -1$에서의 좌극한과 함숫값 구하기
$x \le -1$일 때는 $f(x) = 2x+a$이므로, 이 식을 이용해 좌극한과 함숫값을 구합니다. $x$에 $-1$을 대입하면 됩니다.
$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = f(-1) = 2(-1) + a = -2 + a$$
3단계: $x = -1$에서의 우극한 구하기
$x > -1$일 때는 $f(x) = x^2-5x-a$이므로, 이 식을 이용해 우극한을 구합니다. 마찬가지로 $x$에 $-1$을 대입합니다.
$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = (-1)^2 - 5(-1) - a = 1 + 5 - a = 6 - a$$
4단계: 두 값이 같아지도록 하는 $a$의 값 구하기
함수가 $x = -1$에서 연속이려면 2단계에서 구한 값과 3단계에서 구한 값이 서로 같아야 합니다.
$$-2 + a = 6 - a$$
이제 이 일차방정식을 풀어봅시다. 양변에 $a$를 더하고, $2$를 더해 정리합니다.
$$2a = 8$$
$$a = 4$$
따라서 $a$의 값은 $4$가 됩니다.
답
**④ $4$**
확인해보기
함수 $g(x)$가 $x = 3$에서 연속이 되기 위해서, $x \to 3^-$일 때의 극한값(좌극한), $x \to 3^+$일 때의 극한값(우극한), 그리고 함숫값 $g(3)$ 사이에는 어떤 관계가 성립해야 할지 말해보세요.