어떤 문제인가
이 문제는 주어진 3차함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 그 둘을 더한 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- **도함수 $f'(x)$**: 함수의 그래프가 증가하는지 감소하는지(기울기)를 알려주는 도구입니다.
- 극값의 조건: 미분가능한 함수에서 극값(극대 또는 극소)을 갖는 지점은 도함수의 값이 $0$이 되는 곳($f'(x)=0$) 중에서 좌우 부호가 바뀌는 곳입니다.
- 함숫값 대입: 극값을 갖는 $x$ 값을 원래 함수 $f(x)$에 대입하여 실제 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$ 구하기
함수의 기울기가 $0$이 되는 지점을 찾기 위해 먼저 미분을 합니다.
$$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1$$
이 식을 $x$에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12$$
2단계: $f'(x) = 0$이 되는 $x$의 값 구하기
기울기가 $0$인 지점을 찾기 위해 도함수를 인수분해하여 방정식 $f'(x) = 0$의 해를 구합니다.
$$6x^2 + 6x - 12 = 0$$
양변을 $6$으로 나누면:
$$x^2 + x - 2 = 0$$
인수분해를 하면:
$$(x+2)(x-1) = 0$$
따라서 $f'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값은 **$x = -2$ 또는 $x = 1$**입니다.
3단계: 극대와 극소 판정하기
$x = -2$와 $x = 1$ 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 어떻게 변하는지 확인해 봅시다. 도함수 $f'(x) = 6(x+2)(x-1)$은 아래로 볼록한 이차함수 그래프 모양입니다.
- $x < -2$ 일 때: $f'(x) > 0$ (함수가 증가함 $\nearrow$)
- $-2 < x < 1$ 일 때: $f'(x) < 0$ (함수가 감소함 $\searrow$)
- $x > 1$ 일 때: $f'(x) > 0$ (함수가 증가함 $\nearrow$)
따라서,
- $x = -2$에서 증가하다가 감소하므로 극대가 됩니다.
- $x = 1$에서 감소하다가 증가하므로 극소가 됩니다.
4단계: 극댓값 $M$과 극솟값 $m$ 계산하기
이제 원래 함수 $f(x)$에 $x = -2$와 $x = 1$을 대입하여 실제 값을 구합니다.
- **극댓값 $M$** ($x = -2$ 대입):
$$M = f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 1$$
$$M = 2(-8) + 3(4) + 24 + 1$$
$$M = -16 + 12 + 24 + 1 = 21$$
- **극솟값 $m$** ($x = 1$ 대입):
$$m = f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 1$$
$$m = 2 + 3 - 12 + 1 = -6$$
5단계: $M + m$ 구하기
구한 극댓값과 극솟값을 더합니다.
$$M + m = 21 + (-6) = 15$$
답
③ $15$
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 함수 $g(x) = x^3 - 3x$는 어떤 $x$ 값에서 극댓값을 갖고, 어떤 $x$ 값에서 극솟값을 가질까요? 직접 미분해서 확인해 보세요.