어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각방정식을 정리하여 만족하는 삼각함수의 값을 구하고, 동경 $\theta$가 위치한 사분면을 고려하여 최종적으로 $\cos\theta$의 값을 결정하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 분수의 통분: 분모가 서로 다른 두 분수의 뺄셈을 하기 위해 통분을 이용합니다.
- 삼각함수 사이의 관계:
- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ (또는 $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$)
- $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 각 $\theta$가 몇 사분면에 있는지에 따라 $\sin, \cos, \tan$의 부호가 결정됩니다. (올-사-탄-코 규칙!)
단계별 풀이
1단계: 좌변의 분수식 통분하기
먼저 복잡해 보이는 좌변의 식을 하나로 합쳐봅시다. 분모인 $(1-\sin\theta)$와 $(1+\sin\theta)$를 곱하여 통분합니다.
$$\frac{\sin\theta(1+\sin\theta) - \sin\theta(1-\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)} = 4$$
분자를 전개해서 정리해 볼까요?
$$\sin\theta + \sin^2\theta - \sin\theta + \sin^2\theta = 2\sin^2\theta$$
분모는 합차 공식 $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$을 이용해 전개합니다.
$$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) = 1-\sin^2\theta$$
따라서 식은 다음과 같이 간단해집니다:
$$\frac{2\sin^2\theta}{1-\sin^2\theta} = 4$$
2단계: 삼각함수 공식 적용하여 식 더 줄이기
우리는 삼각함수의 가장 기본 공식인 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 알고 있습니다. 이 식을 변형하면 $1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$가 됩니다.
이것을 분모에 대입해 봅시다.
$$\frac{2\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = 4$$
양변을 $2$로 나누면 다음과 같습니다.
$$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = 2$$
이때, $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$이므로 위 식은 결국 탄젠트에 대한 식이 됩니다!
$$\tan^2\theta = 2$$
3단계: $\theta$의 범위를 보고 삼각함수의 부호 결정하기
문제에서 $\theta$의 범위가 다음과 같이 주어졌습니다.
$$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$$
이 범위는 제2사분면입니다. 제2사분면에서는 **$\sin$만 양수(+)이고, $\cos$과 $\tan$은 음수(-)**입니다.
따라서 $\tan^2\theta = 2$에서 $\tan\theta$의 값은 음수가 되어야 하므로 다음과 같습니다.
$$\tan\theta = -\sqrt{2}$$
4단계: $\cos\theta$의 값 구하기
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\sqrt{2}$ 이므로, 이를 정리하면 다음과 같습니다.
$$\sin\theta = -\sqrt{2}\cos\theta$$
이 식을 다시 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$에 대입해 봅시다.
$$(-\sqrt{2}\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$$
$$2\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
$$3\cos^2\theta = 1$$
$$\cos^2\theta = \frac{1}{3}$$
마지막으로 부호를 결정해야 합니다. 앞서 제2사분면에서 $\cos\theta$는 음수(-)라고 했으므로,
$$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
답
**① $-\frac{\sqrt{3}}{3}$**
확인해보기
만약 문제에서 $\theta$의 범위가 제2사분면이 아니라, **제1사분면($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)**으로 주어졌다면 $\cos\theta$의 값은 어떻게 변했을까요? 부호에 유의하여 스스로 생각해보세요!