어떤 문제인가
이 문제는 주어진 수열의 합 공식을 이용해서 특정 항인 $a_{13}$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 분수의 분해: 복잡해 보이는 분수식을 두 분수의 차로 쪼개는 방법입니다.
- 망원급수(Telescoping Sum): 수열의 합을 나열했을 때, 이웃한 항들이 서로 지워지면서 처음과 끝만 남는 성질입니다.
단계별 풀이
1단계: 시그마($\sum$) 안의 식을 간단하게 변형하기
시그마 기호 안의 식 $\frac{a_{k+1}-a_k}{a_k a_{k+1}}$은 분모가 곱의 형태이고 분자가 차의 형태입니다. 이 식을 하트 모양으로 나누어 각각 약분해 봅시다.
$$\frac{a_{k+1}-a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac{a_{k+1}}{a_k a_{k+1}} - \frac{a_k}{a_k a_{k+1}}$$
각 분수에서 공통인수를 약분하면 다음과 같이 아주 간단한 식으로 바뀝니다.
$$\frac{a_{k+1}-a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}$$
이 변형 덕분에 복잡했던 수열의 합을 쉽게 풀 수 있게 되었습니다.
2단계: 시그마 식을 나열하여 소거하기
이제 1단계에서 구한 식을 원래의 시그마 식에 대입해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) = \frac{1}{n}$$
이 식의 좌변에 $k=1$부터 $k=n$까지 차례대로 대입하여 더해 보겠습니다.
$$\left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right) + \left( \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3} \right) + \left( \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} \right) = \frac{1}{n}$$
괄호를 풀고 가만히 살펴보면, $-\frac{1}{a_2}$와 $+\frac{1}{a_2}$, $-\frac{1}{a_3}$과 $+\frac{1}{a_3}$처럼 이웃한 항들이 서로 더해져서 $0$이 되어 사라집니다.
결국 맨 앞의 항과 맨 뒤의 항만 남게 됩니다.
$$\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{n}$$
3단계: 조건 대입하여 $a_{13}$ 구하기
문제에서 첫째항 $a_1 = -4$라고 주어졌습니다. 이 값을 식에 대입해 봅시다.
$$-\frac{1}{4} - \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{n}$$
우리가 구하고자 하는 값은 $a_{13}$입니다. $a_{n+1}$이 $a_{13}$이 되려면 $n$에 어떤 수를 대입해야 할까요? 바로 $n = 12$를 대입하면 됩니다.
$n = 12$를 대입해 식을 정리해 봅시다.
$$-\frac{1}{4} - \frac{1}{a_{13}} = \frac{1}{12}$$
이제 $-\frac{1}{a_{13}}$을 구하기 위해 $-\frac{1}{4}$을 우변으로 이항합니다.
$$-\frac{1}{a_{13}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{4}$$
우변을 통분하여 계산합니다.
$$-\frac{1}{a_{13}} = \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$
양변에 $-1$을 곱하면 다음과 같습니다.
$$\frac{1}{a_{13}} = -\frac{1}{3}$$
따라서 역수를 취하면 우리가 원하는 답을 얻을 수 있습니다.
$$a_{13} = -3$$
답
④ $-3$
확인해보기
위에서 유도한 공식 $\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{n}$과 $a_1 = -4$를 이용하여, 이 수열의 다섯 번째 항인 $a_5$의 값은 무엇이 될지 스스로 계산해 보세요.