어떤 문제인가
이 문제는 주어진 극한 조건을 이용해서 삼차함수 $f(x)$의 구체적인 식을 찾아내고, 최종적으로 $f(2)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 세 가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- 함수의 극한과 미정계수의 결정: 분수식의 극한값이 존재할 때, 분모가 $0$으로 가면 분자도 반드시 $0$으로 가야 합니다.
- 인수정리: 다항함수 $P(x)$에 대해 $P(\alpha) = 0$이면, $P(x)$는 $(x-\alpha)$를 인수로 가집니다.
- 삼차함수의 식 세우기: 알아낸 인수들을 바탕으로 미지수를 놓아 삼차함수의 식을 완성합니다.
단계별 풀이
1단계: 극한 식을 통해 $f(0)$과 $f(1)$의 값 알아내기
첫 번째 극한 식을 먼저 볼게요.
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$$
$x \to 0$일 때 분모가 $0$으로 수렴합니다. 그런데 극한값이 $1$로 존재하므로, 분자 역시 $0$으로 수렴해야 합니다. $f(x)$는 삼차함수(다항함수)이므로 연속함수입니다. 따라서 극한값과 함숫값이 같습니다.
$$\therefore f(0) = 0$$
두 번째 극한 식도 마찬가지로 분석해 볼까요?
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 1$$
여기서도 $x \to 1$일 때 분모가 $0$으로 가므로, 분자 역시 $0$으로 가야 합니다.
$$\therefore f(1) = 0$$
2단계: 인수정리를 이용하여 $f(x)$의 식 세우기
1단계에서 우리는 $f(0) = 0$, $f(1) = 0$이라는 아주 중요한 정보를 얻었습니다.
인수정리에 의해, 삼차함수 $f(x)$는 $x$와 $(x-1)$을 인수로 가져야 합니다.
$f(x)$는 삼차함수이므로, 식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$f(x) = x(x-1)(ax+b) \quad (단, a \neq 0)$$
이제 우리가 구해야 할 미지수는 $a$와 $b$ 두 개입니다.
3단계: 극한값을 이용하여 미지수 $a, b$ 구하기
우리가 세운 $f(x)$의 식을 원래의 극한 식에 대입해서 $a$와 $b$를 찾아봅시다.
첫 번째 극한에 대입:
$$\lim_{x \to 0} \frac{x(x-1)(ax+b)}{x} = 1$$
분모와 분자의 $x$를 약분합니다.
$$\lim_{x \to 0} (x-1)(ax+b) = 1$$
이제 $x=0$을 대입하면,
$$(-1) \cdot b = 1 \implies b = -1$$
두 번째 극한에 대입:
$$\lim_{x \to 1} \frac{x(x-1)(ax+b)}{x-1} = 1$$
분모와 분자의 $(x-1)$을 약분합니다.
$$\lim_{x \to 1} x(ax+b) = 1$$
이제 $x=1$을 대입하면,
$$1 \cdot (a+b) = 1 \implies a+b = 1$$
앞서 구한 $b = -1$을 대입하면,
$$a - 1 = 1 \implies a = 2$$
따라서 우리가 구하고자 했던 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = x(x-1)(2x-1)$$
4단계: $f(2)$의 값 계산하기
이제 마지막으로 구한 식에 $x=2$를 대입하여 답을 구합니다.
$$f(2) = 2 \cdot (2-1) \cdot (2 \cdot 2 - 1)$$
$$f(2) = 2 \cdot 1 \cdot 3 = 6$$
답
② $6$
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 다항함수 $P(x)$에 대하여 $\lim_{x \to 3} \frac{P(x)}{x-3} = 5$ 일 때, $P(3)$의 값은 얼마일까요? 그리고 이 식을 통해 $P(x)$가 반드시 가지고 있어야 하는 인수는 무엇일까요?