어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 점의 위치, 속도, 가속도 사이의 관계를 이해하고, 이를 이용해 점이 실제로 움직인 거리를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 속도와 가속도의 관계: 가속도는 속도를 시각 $t$에 대해 미분한 것입니다. ($a(t) = v'(t)$)
- 방정식 풀이: 주어진 가속도 조건을 이용해 미지수 $k$의 값을 구합니다.
- 움직인 거리: 점이 움직인 거리는 속도 $v(t)$의 절댓값을 구간에 대해 정적분한 값입니다. ($\int |v(t)| dt$)
단계별 풀이
1단계: 가속도 함수 $a(t)$ 구하기
가속도는 속도를 시간에 대해 미분한 함수입니다. 문제에서 주어진 속도 함수 $v(t) = -4t^3 + 12t^2$를 $t$에 대해 미분해 봅시다.
$$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(-4t^3 + 12t^2)$$
미분 공식을 적용하면 다음과 같습니다.
$$a(t) = -12t^2 + 24t$$
2단계: 시각 $t=k$에서의 조건을 이용해 $k$ 구하기
문제에서 시각 $t=k$에서 가속도가 $12$라고 했습니다. 즉, $a(k) = 12$입니다. 1단계에서 구한 가속도 식에 $t=k$를 대입해 봅시다.
$$-12k^2 + 24k = 12$$
이 방정식을 풀기 위해 모든 항을 우변으로 이항하여 정리합니다.
$$12k^2 - 24k + 12 = 0$$
양변을 $12$로 나누면 아주 익숙한 이차방정식이 나옵니다.
$$k^2 - 2k + 1 = 0$$
$$(k-1)^2 = 0$$
따라서 상수 $k$의 값은 다음과 같습니다.
$$k = 1$$
3단계: 구하고자 하는 시간 구간과 속도의 부호 파악하기
우리가 구해야 하는 것은 시각 $t = 3k$에서 $t = 4k$까지 움직인 거리입니다.
$k=1$이므로, 구하고자 하는 구간은 **$t=3$에서 $t=4$까지**입니다.
움직인 거리를 구할 때는 속도의 부호가 중요합니다. 속도가 양수이면 앞으로 가고, 음수이면 뒤로 가기 때문이죠. 구간 $[3, 4]$에서 속도 $v(t)$의 부호를 확인해 봅시다.
속도 함수를 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$v(t) = -4t^3 + 12t^2 = -4t^2(t-3)$$
$t > 3$일 때, $(t-3)$은 양수이고 $-4t^2$은 음수이므로, 속도 $v(t)$는 항상 음수($v(t) < 0$)가 됩니다.
즉, 점 $\text{P}$는 이 구간 동안 뒤쪽(음의 방향)으로만 움직이고 있습니다.
4단계: 움직인 거리 계산하기
움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분해야 하므로, 구간 $[3, 4]$에서 $v(t) < 0$임을 이용하여 식을 세웁니다.
$$\text{움직인 거리} = \int_{3}^{4} |v(t)| dt = \int_{3}^{4} -v(t) dt$$
$v(t)$ 식을 대입합니다.
$$\int_{3}^{4} (4t^3 - 12t^2) dt$$
이제 부정적분을 구합니다.
$$\left[ t^4 - 4t^3 \right]_{3}^{4}$$
위끝($4$)과 아래끝($3$)을 대입하여 계산해 봅시다.
- $t=4$ 대입: $4^4 - 4(4^3) = 256 - 256 = 0$
- $t=3$ 대입: $3^4 - 4(3^3) = 81 - 108 = -27$
따라서 정적분의 값은 다음과 같습니다.
$$0 - (-27) = 27$$
점 $\text{P}$가 $t=3$에서 $t=4$까지 움직인 거리는 $27$입니다.
답
**③ $27$**
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 질문에 대해 생각해 보세요.
> 질문: 만약 이 문제에서 "움직인 거리"가 아니라, 시각 $t=3$에서 $t=4$까지의 "위치의 변화량(변위)"을 물어보았다면 답은 어떻게 달라졌을까요? 그리고 그 이유는 무엇일까요?