어떤 문제인가
이 문제는 좌표공간에 있는 한 점을 특정 평면에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구하고, 그 점과 다른 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 평면에 대한 대칭이동: $xy$평면에 대해 대칭이동할 때 좌표가 어떻게 변하는지 이해하기
- 좌표공간에서 두 점 사이의 거리: 두 점의 좌표를 알 때, 피타고라스 정리를 확장한 거리 공식을 이용해 선분의 길이 구하기
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{B}$의 좌표 구하기
먼저 점 $\mathrm{A}(3, 0, -2)$를 $xy$평면에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 구해야 합니다.
- 생각해보기: $xy$평면은 $z$좌표가 $0$인 평면입니다. 어떤 점을 $xy$평면에 대해 대칭이동하면, $x$좌표와 $y$좌표는 그대로 유지되지만, $z$좌표는 부호가 반대로 바뀌게 됩니다. (거울을 바닥에 두고 위아래가 뒤집히는 것을 상상해 보세요!)
따라서 점 $\mathrm{A}(3, 0, -2)$의 $z$좌표인 $-2$의 부호를 바꾸면 점 $\mathrm{B}$의 좌표가 됩니다.
$$\mathrm{B}(3, 0, 2)$$
2단계: 선분 $\mathrm{BC}$의 길이 구하기
이제 점 $\mathrm{B}(3, 0, 2)$와 점 $\mathrm{C}(0, 4, 2)$ 사이의 거리를 구합시다.
좌표공간에서 두 점 $(x_1, y_1, z_1)$과 $(x_2, y_2, z_2)$ 사이의 거리 공식은 다음과 같습니다:
$$\text{거리} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
이 공식에 점 $\mathrm{B}$와 점 $\mathrm{C}$의 좌표를 대입해 계산해 봅시다.
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{(0 - 3)^2 + (4 - 0)^2 + (2 - 2)^2}$$
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2}$$
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{9 + 16 + 0}$$
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{25} = 5$$
따라서 선분 $\mathrm{BC}$의 길이는 $5$입니다.
답
⑤ $5$
확인해보기
오늘 배운 대칭이동의 원리를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 점 $\mathrm{A}(3, 0, -2)$를 $xy$평면이 아니라 **$yz$평면**에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{D}$라고 할 때, 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 무엇일까요?