어떤 문제인가
이 문제는 주어진 쌍곡선의 방정식을 보고, 쌍곡선의 중요한 특징 중 하나인 점근선의 방정식을 이용하여 미지수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 쌍곡선의 기본형: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (단, $a>0, b>0$)
- 쌍곡선의 점근선 공식: 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선의 방정식은 $y = \pm \frac{b}{a}x$ 입니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 식에서 $b$의 값 구하기
먼저 문제에서 주어진 쌍곡선의 방정식을 기본형과 비교해 봅시다.
주어진 방정식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{16} = 1$$
쌍곡선의 기본형 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$과 비교하면, $b^2$ 자리에 $16$이 있는 것을 알 수 있습니다.
$$b^2 = 16$$
우리는 양수 $b$의 값을 원하므로, 양변에 제곱근을 씌우면 다음과 같습니다.
$$b = 4$$
2단계: 점근선의 기울기 식 세우기
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선의 방정식은 $y = \pm \frac{b}{a}x$ 입니다.
여기서 두 점근선의 기울기는 각각 $\frac{b}{a}$와 $-\frac{b}{a}$가 됩니다.
1단계에서 구한 $b = 4$를 대입하면, 이 쌍곡선의 점근선의 기울기는 다음과 같습니다.
$$\pm \frac{4}{a}$$
3단계: 조건에 맞는 양수 $a$의 값 구하기
문제에서 **"점근선 중 하나의 기울기가 $3$"**이라고 했습니다.
기울기 $\pm \frac{4}{a}$ 중에서 양수인 기울기가 $3$이 되어야 하므로, 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$\frac{4}{a} = 3$$
이 식을 $a$에 대해 정리해 봅시다. 양변에 $a$를 곱하면,
$$4 = 3a$$
양변을 $3$으로 나누면,
$$a = \frac{4}{3}$$
문제에서 요구한 $a$는 양수이므로, 우리가 구한 $a = \frac{4}{3}$가 올바른 답입니다.
답
**④ $\frac{4}{3}$**
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문] 쌍곡선 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 한 점근선의 방정식이 $y = 2x$일 때, 양수 $b$의 값은 얼마일까요? (위에서 배운 점근선 공식을 적용해 보세요!)