어떤 문제인가
이 문제는 평면벡터의 성분과 내적, 그리고 벡터의 크기 정의를 이용하여 두 점이 그리는 도형을 파악하고, 그 두 도형 사이의 최단 거리를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 내적과 성분: 성분으로 표현된 두 벡터의 내적을 계산하여 점이 그리는 직선의 방정식을 구합니다.
- 벡터의 크기와 원의 정의: 두 벡터의 차의 크기가 일정하다는 조건이 '원'을 의미함을 이해합니다.
- 직선과 원 사이의 최단 거리: 직선과 원 위의 점 사이의 거리 중 가장 짧은 거리를 기하학적으로 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 벡터 $\vec{p}$의 종점이 나타내는 도형 구하기
먼저 벡터 $\vec{p}$의 종점을 $P(x, y)$라고 합시다. 즉, $\vec{p} = (x, y)$입니다.
문제에서 주어진 첫 번째 조건은 다음과 같습니다.
$$\vec{p} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$$
좌변과 우변을 각각 성분으로 계산해 봅시다.
- 좌변: $\vec{p} \cdot \vec{a} = (x, y) \cdot (3, 0) = 3x + 0y = 3x$
- 우변: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3, 0) \cdot (1, 2) = 3 \times 1 + 0 \times 2 = 3$
두 값이 같으므로, 다음 식을 얻을 수 있습니다.
$$3x = 3 \quad \implies \quad x = 1$$
즉, 점 $P$는 $y$값에 상관없이 항상 $x$좌표가 $1$인 **직선 $x = 1$** 위에 있습니다.
2단계: 벡터 $\vec{q}$의 종점이 나타내는 도형 구하기
이번에는 벡터 $\vec{q}$의 종점을 $Q$라고 하고, 주어진 벡터 $\vec{c} = (4, 2)$의 종점을 $C(4, 2)$라고 합시다.
두 번째 조건은 다음과 같습니다.
$$|\vec{q} - \vec{c}| = 1$$
이 식의 기하학적 의미를 생각해 볼까요?
$\vec{q} - \vec{c}$는 점 $C$에서 점 $Q$로 가는 벡터 $\vec{CQ}$를 나타냅니다. 따라서 이 식은 **"점 $C(4, 2)$에서 점 $Q$까지의 거리가 항상 $1$로 일정하다"**는 뜻입니다.
즉, 점 $Q$가 나타내는 도형은 **중심이 $C(4, 2)$이고 반지름의 길이 $r$이 $1$인 원**입니다.
3단계: $|\vec{p} - \vec{q}|$의 최솟값 구하기
$|\vec{p} - \vec{q}|$는 직선 $x = 1$ 위의 점 $P$와 원 위의 점 $Q$ 사이의 거리입니다. 이 거리의 최솟값을 구해야 합니다.
직선과 원 위의 점 사이의 거리가 최소가 되려면 어떻게 해야 할까요?
- 원의 중심 $C(4, 2)$에서 직선 $x = 1$에 수선의 발을 내립니다.
- 중심에서 직선까지의 거리 $d$를 구합니다.
- 이 거리 $d$에서 원의 반지름 $r$을 빼면 최단 거리가 됩니다.
- **원의 중심 $C(4, 2)$에서 직선 $x = 1$까지의 거리 $d$**:
$$d = |4 - 1| = 3$$
- **원의 반지름 $r$**:
$$r = 1$$
따라서 구하고자 하는 최솟값은 다음과 같습니다.
$$\text{최솟값} = d - r = 3 - 1 = 2$$
답
② 2
확인해보기
만약 벡터 $\vec{c}$가 $\vec{c} = (5, 3)$으로 바뀌고, 두 번째 조건이 $|\vec{q} - \vec{c}| = 2$로 바뀐다면, $|\vec{p} - \vec{q}|$의 최솟값은 얼마가 될까요? (직선 $x=1$은 그대로라고 가정합니다.) 스스로 식을 세워 계산해 보세요!