반갑습니다! 오늘도 즐겁게 수학을 배워봅시다. 이 문제는 포물선의 가장 중요한 성질인 '정의'와 도형의 '닮음 및 삼각비'를 결합한 아주 아름다운 기하 문제입니다. 차근차근 단계를 밟아가며 풀어봅시다.
어떤 문제인가
이 문제는 포물선의 정의와 기하학적 성질을 이용하여 미지수 $p$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 포물선의 정의: 포물선 위의 임의의 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 항상 같습니다.
- 정삼각형의 성질: 세 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 $60^\circ$입니다.
- 직각삼각형의 삼각비: 특수각($30^\circ, 60^\circ$)을 가진 직각삼각형의 변의 길이 비를 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 정의로 정삼각형 찾기
포물선 $y^2 = 4px$의 초점은 $\mathrm{F}(p, 0)$이고, 준선의 방정식은 $x = -p$입니다.
점 $\mathrm{A}$는 포물선 위의 점이므로, 포물선의 정의에 의해 **점 $\mathrm{A}$에서 초점 $\mathrm{F}$까지의 거리와 준선에 내린 수선의 발 $\mathrm{B}$까지의 거리**가 같습니다.
$$\overline{\mathrm{AF}} = \overline{\mathrm{AB}}$$
그런데 문제 조건에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BF}}$라고 주어졌습니다. 따라서 세 변의 길이가 모두 같아집니다.
$$\overline{\mathrm{AF}} = \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BF}}$$
즉, $\triangle\mathrm{ABF}$는 정삼각형입니다! 정삼각형의 한 내각의 크기는 $60^\circ$이므로, $\angle\mathrm{ABF} = 60^\circ$입니다.
2단계: 정삼각형의 한 변의 길이를 $p$로 나타내기
점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $(x_1, y_1)$이라 합시다. 준선이 $x = -p$이므로 수선의 발 $\mathrm{B}$의 좌표는 $(-p, y_1)$이 됩니다. 선분 $\mathrm{AB}$는 $x$축과 평행한 가로 선분입니다.
정삼각형 $\triangle\mathrm{ABF}$에서 선분 $\mathrm{BF}$가 $x$축의 양의 방향(또는 평행한 선분 $\mathrm{AB}$)과 이루는 각도가 $60^\circ$이므로, 직선 $\mathrm{BF}$의 기울기는 $-\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$입니다.
두 점 $\mathrm{B}(-p, y_1)$과 $\mathrm{F}(p, 0)$을 지나는 직선의 기울기를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\frac{0 - y_1}{p - (-p)} = \frac{-y_1}{2p} = -\sqrt{3} \implies y_1 = 2\sqrt{3}p$$
점 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$은 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점이므로 대입해 봅시다.
$$(2\sqrt{3}p)^2 = 4px_1 \implies 12p^2 = 4px_1 \implies x_1 = 3p$$
따라서 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 다음과 같습니다.
$$\overline{\mathrm{AB}} = x_1 - (-p) = 3p + p = 4p$$
$\triangle\mathrm{ABF}$가 정삼각형이므로, 선분 $\mathrm{BF}$의 길이 역시 $4p$입니다.
$$\overline{\mathrm{BF}} = 4p$$
3단계: 점 $\mathrm{C}$에서 포물선의 정의와 삼각비 활용하기
이제 점 $\mathrm{C}$에서 준선 $x = -p$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$라고 해봅시다.
포물선의 정의에 의해 다음이 성립합니다.
$$\overline{\mathrm{CF}} = \overline{\mathrm{CD}}$$
이제 직각삼각형 $\triangle\mathrm{BDC}$를 주목해 봅시다.
- 준선(세로선)과 선분 $\mathrm{AB}$(가로선)는 수직($90^\circ$)을 이룹니다.
- $\angle\mathrm{ABF} = 60^\circ$이므로, 준선과 선분 $\mathrm{BC}$가 이루는 각인 $\angle\mathrm{DBC}$는 다음과 같습니다.
$$\angle\mathrm{DBC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$
직각삼각형 $\triangle\mathrm{BDC}$에서 $\sin 30^\circ$를 이용하면,
$$\sin 30^\circ = \frac{\overline{\mathrm{CD}}}{\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{1}{2}$$
$$\overline{\mathrm{CD}} = \frac{1}{2}\overline{\mathrm{BC}}$$
앞서 포물선의 정의에서 $\overline{\mathrm{CF}} = \overline{\mathrm{CD}}$라고 했으므로,
$$\overline{\mathrm{CF}} = \frac{1}{2}\overline{\mathrm{BC}} \implies \overline{\mathrm{BC}} = 2\overline{\mathrm{CF}}$$
4단계: $p$의 값 구하기
문제에서 주어진 조건식에 위에서 구한 관계식을 대입해 봅시다.
$$\overline{\mathrm{BC}} + 3\overline{\mathrm{CF}} = 6$$
$\overline{\mathrm{BC}} = 2\overline{\mathrm{CF}}$를 대입하면,
$$2\overline{\mathrm{CF}} + 3\overline{\mathrm{CF}} = 6 \implies 5\overline{\mathrm{CF}} = 6 \implies \overline{\mathrm{CF}} = \frac{6}{5}$$
따라서 $\overline{\mathrm{BC}} = \frac{12}{5}$가 됩니다.
선분 $\mathrm{BF}$의 전체 길이는 두 선분의 합과 같으므로,
$$\overline{\mathrm{BF}} = \overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CF}} = \frac{12}{5} + \frac{6}{5} = \frac{18}{5}$$
2단계에서 구한 $\overline{\mathrm{BF}} = 4p$와 비교하면,
$$4p = \frac{18}{5} \implies p = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$$
답
**③ $\frac{9}{10}$**
확인해보기
공부를 마친 후 스스로 생각해보는 시간입니다. 다음 질문에 대해 고민해 보세요.
> 질문: 만약 문제 조건이 바뀌어 $\triangle\mathrm{ABF}$가 정삼각형이 아니라, $\angle\mathrm{ABF} = 45^\circ$인 직각이등변삼각형이 되었다면, 직각삼각형 $\triangle\mathrm{BDC}$에서 $\overline{\mathrm{BC}}$와 $\overline{\mathrm{CF}}$의 길이 비율은 어떻게 변할까요? 포물선의 정의를 활용해 스스로 유도해 보세요.