어떤 문제인가
이 문제는 입체도형(사면체) 안에서 움직이는 점 $P$에 대해 두 선분의 길이의 합($\overline{\text{AP}} + \overline{\text{DP}}$)이 최소가 되는 순간을 찾는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 아래의 3가지 핵심 개념을 사용합니다:
- 공간도형에서의 수직 관계: 한 직선이 평면 위의 서로 만나는 두 직선과 수직이면, 그 직선은 평면과 수직입니다.
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 변들의 길이 관계를 파악합니다.
- 점과 직선 사이의 거리: 평면에서 한 점에서 직선에 이르는 가장 짧은 거리는 수선의 길이입니다.
단계별 풀이
1단계: $\triangle\text{ADP}$가 직각삼각형임을 이해하기
먼저 선분 $\text{AD}$와 밑면인 평면 $\text{BCD}$의 관계를 살펴봅시다.
문제에서 $\angle\text{ADB} = \angle\text{ADC} = \frac{\pi}{2}$라고 주어졌습니다. 이는 선분 $\text{AD}$가 밑면 위의 두 선분 $\text{DB}$, $\text{DC}$와 각각 수직임을 뜻합니다.
따라서 선분 $\text{AD}$는 밑면 평면 $\text{BCD}$ 전체와 수직입니다.
점 $P$는 밑면의 선분 $\text{BC}$ 위의 점이므로, 선분 $\text{DP}$ 역시 평면 $\text{BCD}$ 위에 있습니다.
결과적으로 $\text{AD} \perp \text{DP}$가 성립하며, 삼각형 $\text{ADP}$는 $\angle\text{ADP} = 90^\circ$인 직각삼각형이 됩니다.
피타고라스 정리에 의해 $\overline{\text{AP}}$의 길이를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:
$$\overline{\text{AP}} = \sqrt{\overline{\text{AD}}^2 + \overline{\text{DP}}^2} = \sqrt{3^2 + \overline{\text{DP}}^2} = \sqrt{\overline{\text{DP}}^2 + 9}$$
2단계: 구하려는 식 $\overline{\text{AP}} + \overline{\text{DP}}$ 분석하기
우리가 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다:
$$\overline{\text{AP}} + \overline{\text{DP}} = \sqrt{\overline{\text{DP}}^2 + 9} + \overline{\text{DP}}$$
여기서 편의상 $\overline{\text{DP}} = x$ ($x > 0$)라고 두면, 식은 $\sqrt{x^2 + 9} + x$가 됩니다.
이 식은 $x$의 값이 작아질수록 전체 값도 작아지는 구조입니다. (즉, $x$에 대한 증가함수입니다.)
따라서 **$\overline{\text{AP}} + \overline{\text{DP}}$가 최소가 되려면, $\overline{\text{DP}}$의 길이가 최소**가 되어야 합니다.
3단계: $\overline{\text{DP}}$의 최솟값 구하기
$\overline{\text{DP}}$는 밑면인 직각삼각형 $\text{BCD}$에서 점 $\text{D}$로부터 선분 $\text{BC}$ 위의 점 $\text{P}$까지의 거리입니다.
이 거리가 가장 짧아지는 순간은 **점 $\text{D}$에서 선분 $\text{BC}$에 내린 수선의 발에 점 $\text{P}$가 위치할 때**입니다. 이 수선의 발을 $\text{H}$라고 합시다.
직각삼각형 $\text{BCD}$에서 $\overline{\text{DB}} = 2$, $\overline{\text{DC}} = 2\sqrt{3}$이므로, 피타고라스 정리에 의해 빗변 $\text{BC}$의 길이는 다음과 같습니다:
$$\overline{\text{BC}} = \sqrt{\overline{\text{DB}}^2 + \overline{\text{DC}}^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$
이제 삼각형 $\text{BCD}$의 넓이를 두 가지 방법으로 구하여 높이인 $\overline{\text{DH}}$를 구합니다.
$$\text{삼각형의 넓이} = \frac{1}{2} \times \overline{\text{DB}} \times \overline{\text{DC}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$
$$\text{삼각형의 넓이} = \frac{1}{2} \times \overline{\text{BC}} \times \overline{\text{DH}} = \frac{1}{2} \times 4 \times \overline{\text{DH}} = 2\overline{\text{DH}}$$
두 넓이가 같아야 하므로:
$$2\overline{\text{DH}} = 2\sqrt{3} \implies \overline{\text{DH}} = \sqrt{3}$$
따라서 $\overline{\text{DP}}$의 최솟값은 $\sqrt{3}$입니다.
4단계: 최솟값 계산하기
$\overline{\text{DP}} = \sqrt{3}$일 때, 우리가 구하고자 하는 $\overline{\text{AP}} + \overline{\text{DP}}$는 최솟값을 가집니다. 이 값을 대입해 계산해 봅시다.
$$\text{최솟값} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 9} + \sqrt{3}$$
$$= \sqrt{3 + 9} + \sqrt{3}$$
$$= \sqrt{12} + \sqrt{3}$$
$$= 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$
답
① $3\sqrt{3}$
확인해보기
만약 선분 $\text{AD}$의 길이가 $3$이 아니라 $2\sqrt{2}$로 바뀐다면, $\overline{\text{AP}} + \overline{\text{DP}}$의 최솟값은 어떻게 변할까요? 위 풀이 과정을 참고하여 스스로 계산해 보세요!