어떤 문제인가
타원의 접선과 평행선이 만드는 삼각형의 둘레를 구하는 문제예요. 핵심 개념은 세 가지입니다. 첫째, 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$에서 $a^2=16$, $b^2=12$이므로 $c^2=4$, 즉 초점은 $\mathrm{F}(2,0)$, $\mathrm{F}'(-2,0)$이에요. 둘째, 점 $\mathrm{F}$를 지나 접선 $l$과 평행한 직선이 $\overline{\mathrm{QF}}$이므로 $\overline{\mathrm{QF}} \parallel \overline{\mathrm{RS}}$가 되어 $\triangle \mathrm{F}'\mathrm{QF} \sim \triangle \mathrm{F}'\mathrm{RS}$(닮음)가 성립해요. 셋째, 여기에 타원의 정의 $\overline{\mathrm{QF}'}+\overline{\mathrm{QF}}=2a=8$을 결합하면 복잡한 좌표 계산 없이 둘레를 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
- **초점과 접선 $l$을 먼저 구해요.** $c^2 = 16-12 = 4$이므로 $c=2$, $\mathrm{F}(2,0)$, $\mathrm{F}'(-2,0)$입니다. 점 $\mathrm{P}(2,3)$에서의 접선은 공식에 의해
$$\frac{2x}{16}+\frac{3y}{12}=1 \quad\Longrightarrow\quad x+2y=8$$
이에요. 따라서 $l$과 $x$축의 교점은 $\mathrm{S}(8,0)$이고,
$$\overline{\mathrm{F}'\mathrm{S}} = 8-(-2)=10, \qquad \overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}} = 2c = 4$$
입니다.
- 닮음 관계를 설정해요. 점 $\mathrm{Q}$는 $\mathrm{F}$를 지나고 $l$과 평행한 직선 위에 있으므로 $\overline{\mathrm{QF}} \parallel l$, 즉 $\overline{\mathrm{QF}} \parallel \overline{\mathrm{RS}}$예요. $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{F}'\mathrm{R}$ 위에, $\mathrm{F}$는 선분 $\mathrm{F}'\mathrm{S}$ 위에 있으므로
$$\triangle \mathrm{F}'\mathrm{QF} \sim \triangle \mathrm{F}'\mathrm{RS}, \qquad \text{닮음비} = \frac{\overline{\mathrm{F}'\mathrm{S}}}{\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$
가 됩니다.
- 타원의 정의를 적용해요. $\mathrm{Q}$는 타원 위의 점이므로
$$\overline{\mathrm{F}'\mathrm{Q}} + \overline{\mathrm{QF}} = 2a = 8$$
이 성립해요.
- 둘레를 계산해요. 닮음비에 의해 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{R}} = \dfrac{5}{2}\,\overline{\mathrm{F}'\mathrm{Q}}$, $\overline{\mathrm{RS}} = \dfrac{5}{2}\,\overline{\mathrm{QF}}$이므로
$$\overline{\mathrm{F}'\mathrm{R}} + \overline{\mathrm{RS}} = \frac{5}{2}\left(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{Q}} + \overline{\mathrm{QF}}\right) = \frac{5}{2}\times 8 = 20$$
이에요. 따라서 삼각형 $\mathrm{SRF}'$의 둘레는
$$\overline{\mathrm{F}'\mathrm{R}} + \overline{\mathrm{RS}} + \overline{\mathrm{SF}'} = 20 + 10 = 30$$
입니다.
검산
좌표로 직접 확인해 볼 수 있어요. $\mathrm{F}$를 지나고 기울기 $-\tfrac12$인 직선 $x+2y=2$를 타원에 대입하면 $4y^2-6y-9=0$이 되어 $y_{\mathrm{Q}} = \dfrac{3+3\sqrt5}{4} \approx 2.4271$, $x_{\mathrm{Q}} = 2-2y_{\mathrm{Q}} \approx -2.8541$로 $\mathrm{Q}$가 제2사분면에 있음이 확인돼요. 직선 $\mathrm{F}'\mathrm{Q}$와 $l:\,x+2y=8$의 교점을 구하면 매개변수 $t=2.5$에서 $\mathrm{R}(-4.1353,\ 6.0678)$이 되어 닮음비 $\tfrac52$와 일치하고, 수치 계산 결과 $\overline{\mathrm{SR}}+\overline{\mathrm{RF}'}+\overline{\mathrm{F}'\mathrm{S}} = 30.0000$, $\overline{\mathrm{QF}}+\overline{\mathrm{QF}'}=8.0000=2a$도 확인됩니다.
답
삼각형 $\mathrm{SRF}'$의 둘레의 길이는 $30$이므로 정답은 ① 30입니다.
확인해보기
이 풀이에서 닮음비 $\dfrac{5}{2}$는 어떤 두 선분의 길이 비에서 나왔는지, 그리고 타원의 정의가 어느 단계에서 왜 꼭 필요했는지 스스로 설명해 볼 수 있나요?