어떤 문제인가
이 문제는 접혀 있는 입체도형에서 두 평면이 이루는 각(이면각)의 크기를 구하는 문제입니다. 복잡해 보이는 입체도형 문제를 쉽고 정확하게 풀기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 공간좌표 설정: 복잡한 입체도형을 $x, y, z$축이 있는 공간에 올려놓으면, 점들의 위치를 숫자로 나타낼 수 있어 계산이 아주 단순해집니다.
- 삼각비를 이용한 좌표 구하기: 접기 전과 접은 후의 각도 변화를 삼각비($\sin, \cos$)를 이용해 추적하여 점 $P$와 $Q$의 3차원 좌표를 구합니다.
- 법선벡터를 이용한 이면각 구하기: 두 평면의 '수직인 벡터(법선벡터)'를 구한 뒤, 벡터의 내적을 이용해 두 평면이 이루는 각 $\theta$를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 공간좌표계 설정하기
도형을 좌표공간에 올려놓기 위해 기준이 되는 원점과 축을 정해봅시다.
정사각형 $ABCD$의 한 변의 길이가 $8$이므로, 점 $B$를 원점 $(0,0,0)$으로 잡는 것이 가장 편리합니다.
- 점 $B$를 원점 $(0,0,0)$으로 잡습니다.
- 선분 $BC$ 방향을 $x$축의 양의 방향으로 잡으면, $C = (8, 0, 0)$이 됩니다.
- 선분 $BA$ 방향을 $y$축의 양의 방향으로 잡으면, $A = (0, 8, 0)$이 되고, $D = (8, 8, 0)$이 됩니다.
- 평면 $ABCD$에서 위로 수직하게 올라오는 방향을 $z$축의 양의 방향으로 잡습니다.
이렇게 하면 밑면인 평면 $ABCD$는 $xy$평면($z=0$)이 됩니다.
2단계: 접기 전 점 $P$와 $Q$의 위치 분석하기
두 반원을 접기 전에, 점 $P$와 $Q$가 각각 지름 $AB$와 $CD$로부터 얼마나 떨어져 있는지 알아야 접었을 때의 위치를 찾을 수 있습니다.
- 점 $P$의 위치:
* 지름 $AB$의 중점을 $M_1$이라 하면, $M_1$의 좌표는 $(0, 4, 0)$이고 반원의 반지름은 $4$입니다.
* 호 $AB$를 3등분한 점 중 $B$에 가까운 점이 $P$이므로, 중심각 $\angle B M_1 P = 60^\circ$입니다.
* 따라서 접기 전 점 $P$에서 지름 $AB$($y$축)에 내린 수선의 발의 $y$좌표는 $4 - 4\cos 60^\circ = 2$입니다.
* 또한, 점 $P$에서 $y$축까지의 거리는 $4\sin 60^\circ = 2\sqrt{3}$입니다.
- 점 $Q$의 위치:
* 지름 $CD$의 중점을 $M_2$라 하면, $M_2$의 좌표는 $(8, 4, 0)$입니다.
* 점 $Q$는 호 $CD$를 이등분하는 점이므로, 중심각은 $90^\circ$입니다.
* 따라서 접기 전 점 $Q$에서 지름 $CD$($x=8$인 선)까지의 거리는 반지름의 길이와 같은 $4$이고, $y$좌표는 $M_2$와 같은 $4$입니다.
3단계: 접은 후 점 $P$와 $Q$의 공간좌표 구하기
접어도 접는 선까지의 공간 거리는 변하지 않습니다. 높이와 수평 거리에 피타고라스 정리를 적용해 봅시다.
- $P$는 접는 선 $AB$에서 $2\sqrt3$만큼 떨어져 있고 높이가 $\sqrt3$이므로, 수평 거리는 $\sqrt{12-3}=3$입니다. 수선의 발 $G$가 정사각형 내부에 있으므로 $x$좌표는 양수인 $3$입니다. 따라서 $P=(3,2,\sqrt3)$입니다.
- $Q$는 접는 선 $CD$에서 $4$만큼 떨어져 있고 높이가 $2\sqrt3$이므로, 수평 거리는 $\sqrt{16-12}=2$입니다. 수선의 발 $H$가 내부에 있으므로 $x=8-2=6$입니다. 따라서 $Q=(6,4,2\sqrt3)$입니다.
이렇게 하면 종이를 회전시킨 각과 두 평면이 이루는 작은 각을 혼동하지 않고 좌표를 구할 수 있습니다.
4단계: 두 평면의 법선벡터 구하기
이제 세 점 $P(3, 2, \sqrt{3})$, $Q(6, 4, 2\sqrt{3})$, $C(8, 0, 0)$을 지나는 평면 $PCQ$의 법선벡터를 구해봅시다.
평면 위의 두 벡터를 구하면 다음과 같습니다.
$$\vec{CP} = P - C = (-5, 2, \sqrt{3})$$
$$\vec{CQ} = Q - C = (-2, 4, 2\sqrt{3})$$
평면 $PCQ$의 법선벡터를 $\vec{n} = (a, b, c)$라 하면, 이 벡터는 평면 위의 두 벡터와 각각 수직이므로 내적이 $0$이 되어야 합니다.
1) $\vec{n} \cdot \vec{CP} = -5a + 2b + \sqrt{3}c = 0$
2) $\vec{n} \cdot \vec{CQ} = -2a + 4b + 2\sqrt{3}c = 0$
1번 식에 $2$를 곱하면 $-10a + 4b + 2\sqrt{3}c = 0$이 됩니다.
이 식에서 2번 식을 빼주면:
$$-8a = 0 \quad \implies \quad a = 0$$
$a=0$을 1번 식에 대입하면:
$$2b + \sqrt{3}c = 0 \quad \implies \quad b = -\frac{\sqrt{3}}{2}c$$
계산을 간단하게 하기 위해 $c = -2$라고 정하면, $b = \sqrt{3}$이 됩니다.
따라서 평면 $PCQ$의 법선벡터는 $\vec{n} = (0, \sqrt{3}, -2)$ 입니다.
한편, 밑면인 평면 $ABCD$($xy$평면)의 법선벡터는 간단히 $\vec{u} = (0, 0, 1)$ 로 둘 수 있습니다.
5단계: 이면각 $\theta$와 최종 값 구하기
두 평면이 이루는 작은 각 $\theta$는 두 법선벡터가 이루는 각 또는 그 보각입니다. 따라서 내적에 절댓값을 취합니다. 벡터의 내적 공식을 사용해봅시다.
$$\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{u}|}{|\vec{n}| |\vec{u}|}$$
각각의 크기와 내적을 계산하면:
- $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}$
- $|\vec{u}| = 1$
- $|\vec{n} \cdot \vec{u}| = |0 \times 0 + \sqrt{3} \times 0 + (-2) \times 1| = 2$
따라서,
$$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{7}}$$
우리가 구하고자 하는 값은 $70 \times \cos^2 \theta$이므로:
$$\cos^2 \theta = \frac{4}{7}$$
$$70 \times \cos^2 \theta = 70 \times \frac{4}{7} = 40$$
답
$$40$$
확인해보기
질문: 만약 반원 $CD$의 평면이 밑면과 이루는 각이 $90^\circ$(즉, 밑면과 수직이 되도록)였다면, 접은 후 점 $Q$의 공간좌표는 어떻게 변할까요? 스스로 생각해보세요!