어떤 문제인가
이 문제는 평면벡터의 성질과 내적의 정의를 활용하여 조건에 맞는 벡터의 위치를 찾고, 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 크기와 원의 방정식: 점 $\mathrm{A}$를 시점으로 하는 벡터의 크기가 일정하다는 것은, 종점이 $\mathrm{A}$를 중심으로 하는 원 위에 있다는 뜻입니다.
- 벡터의 내적과 각도: 두 벡터의 내적은 각 벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 각의 코사인 값의 곱입니다. ($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$)
- 벡터의 분해: 복잡한 벡터를 우리가 잘 알고 있는 고정된 점들을 지나는 벡터들의 합으로 나누어 생각하면 문제를 훨씬 쉽게 풀 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$가 움직이는 영역 파악하기
먼저 조건들을 하나씩 분석해 봅시다.
- 조건 1: $\left| \overrightarrow{\mathrm{AP}} \right| = 1$
점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}(-3, 1)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 위에 있습니다.
- 조건 2: $\left| \overrightarrow{\mathrm{BQ}} \right| = 2$
점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{B}(0, 2)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원 위에 있습니다.
- 조건 3: $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$는 원점 $\mathrm{O}$에서 $\mathrm{C}(1, 0)$으로 가는 벡터이므로, 양의 $x$축 방향의 단위벡터 $(1, 0)$과 같습니다.
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\theta$라고 하면, 내적의 정의에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \left| \overrightarrow{\mathrm{AP}} \right| \left| \overrightarrow{\mathrm{OC}} \right| \cos\theta = 1 \cdot 1 \cdot \cos\theta = \cos\theta$$
따라서 $\cos\theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$가 되어야 하므로, 각도 $\theta$의 범위는 다음과 같습니다.
$$-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$$
즉, 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하는 원 중에서 오른쪽 $90^\circ$ 부채꼴의 호 위에만 존재할 수 있습니다.
2단계: $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$가 최소가 되는 상황 찾기 ($\mathrm{P}_0, \mathrm{Q}_0$ 구하기)
우리가 최소로 만들어야 하는 식은 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$입니다. 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{B}$를 기준으로 움직이므로, $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$를 점 $\mathrm{B}$를 거쳐 가도록 분해해 봅시다.
$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$$
이 식을 대입하여 내적을 전개해 보겠습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BQ}}) = \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$$
이 값이 최소가 되려면 두 더해지는 항이 각각 최소가 되어야 합니다.
- **$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$의 최솟값**:
두 벡터의 크기는 각각 $\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=1$, $\left|\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\right|=2$로 고정되어 있습니다. 따라서 이 내적이 최소가 되려면 두 벡터의 방향이 정반대일 때입니다.
즉, $\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = -2\overrightarrow{\mathrm{AP}}$일 때 내적은 최솟값 $-2$를 가집니다.
- **$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$의 최솟값**:
$\mathrm{A}(-3, 1)$, $\mathrm{B}(0, 2)$이므로 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (3, 1)$입니다.
$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (\cos\theta, \sin\theta)$ (단, $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$)로 두면,
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = 3\cos\theta + \sin\theta$$
이 함수의 최솟값을 구하기 위해 삼각함수의 합성을 생각하거나 경계값을 대입해 봅시다.
* $\theta = \frac{\pi}{4}$일 때: $3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
* $\theta = -\frac{\pi}{4}$일 때: $3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
따라서 최솟값은 $\theta = -\frac{\pi}{4}$일 때 가집니다.
이 두 결과를 종합하면, 전체 내적 값이 최소가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}_0$와 $\mathrm{Q}_0$의 벡터는 다음과 같습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}_0} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\overrightarrow{\mathrm{BQ}_0} = -2\overrightarrow{\mathrm{AP}_0} = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$$
3단계: 점 $\mathrm{X}$의 조건 해석하기
점 $\mathrm{X}$는 선분 $\mathrm{AP}_0$ 위의 점이므로, 실수 $t$ ($0 \le t \le 1$)를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = t \overrightarrow{\mathrm{AP}_0} \quad (0 \le t \le 1)$$
이제 조건 $\overrightarrow{\mathrm{BX}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}_0} \ge 1$을 적용해 봅시다.
$\overrightarrow{\mathrm{BX}}$를 점 $\mathrm{A}$를 기준으로 분해하면,
$$\overrightarrow{\mathrm{BX}} = \overrightarrow{\mathrm{BA}} + \overrightarrow{\mathrm{AX}} = -\overrightarrow{\mathrm{AB}} + t \overrightarrow{\mathrm{AP}_0}$$
이 식을 조건식에 대입합니다.
$$(-\overrightarrow{\mathrm{AB}} + t \overrightarrow{\mathrm{AP}_0}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}_0} \ge 1$$
여기서 $\overrightarrow{\mathrm{BQ}_0} = -2\overrightarrow{\mathrm{AP}_0}$임을 이용해 식을 정리해 봅시다.
$$(-\overrightarrow{\mathrm{AB}} + t \overrightarrow{\mathrm{AP}_0}) \cdot (-2\overrightarrow{\mathrm{AP}_0}) \ge 1$$
$$2(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}_0}) - 2t \left|\overrightarrow{\mathrm{AP}_0}\right|^2 \ge 1$$
우리는 앞 단계에서 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}_0} = \sqrt{2}$이고, $\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}_0}\right|^2 = 1$임을 구했습니다. 이를 대입하면,
$$2\sqrt{2} - 2t \ge 1$$
$$2t \le 2\sqrt{2} - 1 \implies t \le \sqrt{2} - \frac{1}{2}$$
원래 $0 \le t \le 1$이었고, $\sqrt{2} - \frac{1}{2} \approx 1.414 - 0.5 = 0.914$이므로, 만족하는 $t$의 범위는 다음과 같습니다.
$$0 \le t \le \sqrt{2} - \frac{1}{2}$$
4단계: $\left| \overrightarrow{\mathrm{Q}_0 \mathrm{X}} \right|^2$의 최댓값 구하기
이제 구하고자 하는 값인 $\left| \overrightarrow{\mathrm{Q}_0 \mathrm{X}} \right|^2$을 $t$에 대한 식으로 나타내 봅시다.
$$\overrightarrow{\mathrm{Q}_0 \mathrm{X}} = \overrightarrow{\mathrm{Q}_0 \mathrm{B}} + \overrightarrow{\mathrm{BX}} = -\overrightarrow{\mathrm{BQ}_0} + \overrightarrow{\mathrm{BX}}$$
위에서 구한 식들을 대입합니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{Q}_0 \mathrm{X}} = 2\overrightarrow{\mathrm{AP}_0} + (-\overrightarrow{\mathrm{AB}} + t\overrightarrow{\mathrm{AP}_0}) = (t+2)\overrightarrow{\mathrm{AP}_0} - \overrightarrow{\mathrm{AB}}$$
이 벡터의 크기의 제곱을 구하면,
$$\left| \overrightarrow{\mathrm{Q}_0 \mathrm{X}} \right|^2 = \left| (t+2)\overrightarrow{\mathrm{AP}_0} - \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right|^2$$
$$= (t+2)^2 \left|\overrightarrow{\mathrm{AP}_0}\right|^2 - 2(t+2)(\overrightarrow{\mathrm{AP}_0} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}) + \left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|^2$$
여기에 알고 있는 값들($\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}_0}\right|^2 = 1$, $\overrightarrow{\mathrm{AP}_0} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}$, $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|^2 = 3^2 + 1^2 = 10$)을 대입합니다.
$$\left| \overrightarrow{\mathrm{Q}_0 \mathrm{X}} \right|^2 = (t+2)^2 - 2\sqrt{2}(t+2) + 10$$
계산을 편하게 하기 위해 $u = t+2$로 치환해 봅시다.
$t$의 범위가 $0 \le t \le \sqrt{2} - \frac{1}{2}$이므로, $u$의 범위는 다음과 같습니다.
$$2 \le u \le \sqrt{2} + \frac{3}{2}$$
이 범위에서 이차함수 $f(u) = u^2 - 2\sqrt{2}u + 10$의 최댓값을 구하면 됩니다.
식을 표준형으로 고치면,
$$f(u) = (u - \sqrt{2})^2 + 8$$
이 함수는 아래로 볼록한 포물선이며, 축(꼭짓점)이 $u = \sqrt{2} \approx 1.414$에 있습니다.
우리가 보는 구간 $[2, \sqrt{2} + 1.5]$는 축의 오른쪽($u > \sqrt{2}$)에 있으므로, 이 구간에서 함수는 계속 증가합니다.
따라서 최댓값은 구간의 오른쪽 끝인 $u = \sqrt{2} + \frac{3}{2}$일 때 가집니다.
최댓값을 계산해 봅시다.
$$f\left(\sqrt{2} + \frac{3}{2}\right) = \left(\sqrt{2} + \frac{3}{2} - \sqrt{2}\right)^2 + 8 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 8 = \frac{9}{4} + 8 = \frac{41}{4}$$
따라서 최댓값은 $\frac{41}{4}$입니다.
답
구한 최댓값은 $\frac{q}{p} = \frac{41}{4}$입니다.
$p = 4$, $q = 41$은 서로소인 자연수이므로,
$$p + q = 4 + 41 = 45$$
확인해보기
질문: 2단계 풀이 과정에서 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$의 내적이 최소가 되기 위해 두 벡터의 방향이 정반대($\theta = \pi$)가 되어야 한다고 했습니다. 벡터의 내적 공식($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$)을 바탕으로 왜 코사인 값이 $-1$일 때 내적이 최소가 되는지 스스로 설명해 보세요.