어떤 문제인가
이 문제는 이항분포를 따르는 확률변수의 평균을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **이항분포 $\text{B}(n, p)$**: 어떤 시행을 독립적으로 $n$번 반복할 때, 각 시행에서 사건이 일어날 확률이 $p$인 확률분포입니다.
- 이항분포의 평균 공식: 확률변수 $X$가 이항분포 $\text{B}(n, p)$를 따를 때, 평균 $\text{E}(X)$는 시행 횟수 $n$과 확률 $p$를 곱해서 구합니다. ($$\text{E}(X) = np$$)
단계별 풀이
1단계: 이항분포의 평균 공식 기억하기
이항분포 $\text{B}(n, p)$에서 평균 $\text{E}(X)$는 **"전체 시행 횟수($n$) $\times$ 한 번의 시행에서 사건이 일어날 확률($p$)"**로 구합니다.
예를 들어, 성공 확률이 $\frac{1}{2}$인 게임을 $100$번 한다면 평균적으로 $100 \times \frac{1}{2} = 50$번 성공할 것이라고 기대할 수 있는 것과 같은 원리입니다.
따라서 공식은 다음과 같습니다.
$$\text{E}(X) = np$$
2단계: 문제의 조건 대입하여 계산하기
문제에서 확률변수 $X$가 이항분포 $\text{B}\left(60, \frac{1}{4}\right)$을 따른다고 했습니다.
이 기호에서 각각의 값을 찾아내면 다음과 같습니다.
- 총 시행 횟수 $n = 60$
- 한 번의 시행에서 사건이 일어날 확률 $p = \frac{1}{4}$
이제 이 값들을 평균 공식에 대입해 봅시다.
$$\text{E}(X) = 60 \times \frac{1}{4}$$
이를 계산하면 다음과 같습니다.
$$\text{E}(X) = 15$$
답
정답은 **③ $15$** 입니다.
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 확률변수 $Y$가 이항분포 $\text{B}\left(80, \frac{1}{5}\right)$를 따를 때, 평균 $\text{E}(Y)$의 값은 얼마일까요? 직접 계산해 보세요!