어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 서로 다른 숫자 그룹에서 각각 숫자를 하나씩 뽑아 곱했을 때, 그 곱이 특정 수($31$)보다 커질 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 세 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 전체 경우의 수 (곱의 법칙): 일어날 수 있는 모든 경우의 수를 구합니다.
- 조건을 만족하는 경우의 수: $a \times b > 31$을 만족하는 순서쌍 $(a, b)$를 빠짐없이 찾습니다.
- 확률의 정의: $\text{확률} = \frac{\text{조건을 만족하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}}$ 공식을 이용해 최종 답을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
먼저, 두 그룹에서 숫자를 하나씩 뽑을 때 나올 수 있는 모든 경우의 수를 구해봅시다.
- $a$를 선택하는 경우: $1, 3, 5, 7$ 중 하나이므로 총 $4$가지입니다.
- $b$를 선택하는 경우: $2, 4, 6, 8$ 중 하나이므로 총 $4$가지입니다.
두 수를 동시에(연이어) 선택하므로, 곱의 법칙에 의해 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$4 \times 4 = 16$$
2단계: $a \times b > 31$을 만족하는 경우 찾기
이제 두 수의 곱이 $31$보다 커지는 경우를 찾아봅시다. 기준을 세워서 차근차근 대입해보면 빠뜨리지 않고 찾을 수 있어요. $a$의 값을 기준으로 나누어 생각해보겠습니다.
- **$a = 1$일 때**:
$b$의 가장 큰 값인 $8$을 곱해도 $1 \times 8 = 8$입니다. $31$보다 클 수 없습니다. (0가지)
- **$a = 3$일 때**:
$b$의 가장 큰 값인 $8$을 곱해도 $3 \times 8 = 24$입니다. 역시 $31$보다 클 수 없습니다. (0가지)
- **$a = 5$일 때**:
$b$의 값들을 하나씩 곱해봅시다.
- $5 \times 2 = 10$ (X)
- $5 \times 4 = 20$ (X)
- $5 \times 6 = 30$ (X)
- $5 \times 8 = 40$ (O) $\rightarrow$ **$(5, 8)$ 가능** (1가지)
- **$a = 7$일 때**:
$b$의 값들을 하나씩 곱해봅시다.
- $7 \times 2 = 14$ (X)
- $7 \times 4 = 28$ (X)
- $7 \times 6 = 42$ (O) $\rightarrow$ **$(7, 6)$ 가능**
- $7 \times 8 = 56$ (O) $\rightarrow$ **$(7, 8)$ 가능** (2가지)
따라서 조건을 만족하는 순서쌍 $(a, b)$는 $(5, 8)$, $(7, 6)$, $(7, 8)$로 총 **$3$가지**입니다.
3단계: 확률 계산하기
확률의 정의에 따라, 전체 경우의 수 분에 조건을 만족하는 경우의 수를 계산합니다.
$$\text{확률} = \frac{\text{조건을 만족하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{3}{16}$$
답
**③ $\frac{3}{16}$**
확인해보기
위 문제와 같은 조건($a \in \{1, 3, 5, 7\}$, $b \in \{2, 4, 6, 8\}$)에서, 두 수의 곱이 $10$ 이하일 확률($a \times b \le 10$)을 구하려고 합니다. 이때 **조건을 만족하는 순서쌍 $(a, b)$는 모두 몇 개**일까요? 스스로 구해보며 오늘 배운 내용을 점검해보세요!