어떤 문제인가
이 문제는 다항식의 거듭제곱을 전개했을 때, 특정 항의 계수를 찾는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이항정리 (Binomial Theorem): $(A+B)^n$을 전개할 때 각 항이 어떻게 구성되는지 알려주는 공식입니다.
- 일반항 (General Term): 전개식에서 임의의 항을 대표하는 식으로, 특정 항의 계수를 찾을 때 가장 먼저 세워야 하는 식입니다.
- 지수법칙 (Laws of Exponents): $x$의 거듭제곱들을 하나로 합치고 정리할 때 사용합니다. (예: $(x^2)^a = x^{2a}$, $\frac{1}{x} = x^{-1}$)
단계별 풀이
1단계: 전개식의 일반항 세우기
이항정리에 의해 $(A+B)^n$의 일반항은 $_nC_r A^{n-r} B^r$ (단, $r = 0, 1, 2, \dots, n$)입니다.
주어진 식 $\left(x^2 + \frac{a}{x}\right)^5$에서 $A = x^2$, $B = \frac{a}{x} = a \cdot x^{-1}$, $n = 5$로 두고 일반항을 세워봅시다.
$$_5C_r \left(x^2\right)^{5-r} \left(\frac{a}{x}\right)^r$$
이 식을 숫자(계수) 부분과 문자($x$) 부분으로 나누어 정리해 보겠습니다. 지수법칙을 적용해 볼까요?
$$= _5C_r \cdot x^{2(5-r)} \cdot a^r \cdot x^{-r}$$
$$= _5C_r \cdot a^r \cdot x^{10-2r} \cdot x^{-r}$$
$$= \left( _5C_r \cdot a^r \right) \cdot x^{10-3r}$$
이제 우리는 계수 부분인 $\left( _5C_r \cdot a^r \right)$과 $x$의 차수 부분인 $x^{10-3r}$을 깔끔하게 분리했습니다.
2단계: $\frac{1}{x^2}$의 계수 구하기
$\frac{1}{x^2}$은 지수로 표현하면 $x^{-2}$입니다. 따라서 $x$의 지수인 $10-3r$이 $-2$가 되어야 합니다.
$$10 - 3r = -2$$
$$3r = 12 \quad \implies \quad r = 4$$
$r=4$를 일반항의 계수 부분에 대입하면 $\frac{1}{x^2}$의 계수를 얻을 수 있습니다.
$$\text{계수} = _5C_4 \cdot a^4 = 5a^4$$
3단계: $x$의 계수 구하기
이번에는 $x$의 계수(즉, $x^1$의 계수)를 구해야 하므로, 지수 $10-3r$이 $1$이 되어야 합니다.
$$10 - 3r = 1$$
$$3r = 9 \quad \implies \quad r = 3$$
$r=3$을 일반항의 계수 부분에 대입하여 $x$의 계수를 구합니다.
$$\text{계수} = _5C_3 \cdot a^3 = 10a^3$$
4단계: 두 계수가 같음을 이용하여 양수 $a$의 값 구하기
문제에서 두 계수가 서로 같다고 했습니다. 식을 세워볼까요?
$$5a^4 = 10a^3$$
문제 조건에서 $a$는 양수라고 했으므로, $a \neq 0$입니다. 따라서 양변을 $5a^3$으로 나눌 수 있습니다.
$$a = 2$$
답
**② $2$**
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> [질문]
> 식 $\left(x + \frac{2}{x}\right)^4$의 전개식에서 상수항(즉, $x^0$의 항)을 구하려고 합니다.
> 이때 일반항을 세웠을 때 $r$의 값은 얼마가 되어야 할까요? (답은 직접 계산해 보세요!)