어떤 문제인가
이 문제는 특정 조건이 일어났을 때 다른 사건이 일어날 확률을 구하는 조건부확률 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 확률의 곱셈정리: 주사위를 던져 주머니를 선택하는 사건과 그 주머니에서 공을 꺼내는 사건이 연이어 일어날 확률을 구합니다.
- **조합($_n\mathrm{C}_r$)**: 주머니에서 공을 동시에 꺼낼 때, 전체 경우의 수와 특정 색깔의 공을 꺼내는 경우의 수를 구하기 위해 사용합니다.
- 조건부 확률: "꺼낸 2개의 공이 모두 흰색일 때"라는 조건 하에서, "주사위 눈이 5 이상(주머니 A 선택)일" 확률을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 주사위를 던져 주머니 A 또는 B를 선택할 확률 구하기
먼저 주사위를 던졌을 때 각 주머니를 선택하게 될 확률을 구해봅시다. 주사위의 눈은 $1, 2, 3, 4, 5, 6$으로 총 6가지입니다.
- 주머니 A를 선택할 확률: 주사위 눈이 5 이상($5, 6$)이 나올 확률입니다.
$$P(\text{A}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
- 주머니 B를 선택할 확률: 주사위 눈이 4 이하($1, 2, 3, 4$)가 나올 확률입니다.
$$P(\text{B}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
2단계: 각 주머니에서 흰 공 2개를 꺼낼 확률 구하기
이제 각 주머니에서 공 2개를 동시에 꺼낼 때, 둘 다 흰 공일 확률을 각각 구해봅시다.
- 주머니 A에서 흰 공 2개를 꺼낼 확률:
주머니 A에는 흰 공 2개, 검은 공 4개로 총 6개의 공이 있습니다.
* 전체 경우의 수: 6개 중 2개를 고르는 방법 $_6\mathrm{C}_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$가지
* 흰 공 2개를 고르는 경우의 수: 흰 공 2개 중 2개를 모두 고르는 방법 $_2\mathrm{C}_2 = 1$가지
* 따라서, 주머니 A에서 흰 공 2개를 꺼낼 확률은 다음과 같습니다.
$$P(\text{흰 공 2개} \mid \text{A}) = \frac{_2\mathrm{C}_2}{_6\mathrm{C}_2} = \frac{1}{15}$$
- 주머니 B에서 흰 공 2개를 꺼낼 확률:
주머니 B에는 흰 공 3개, 검은 공 3개로 총 6개의 공이 있습니다.
* 전체 경우의 수: 6개 중 2개를 고르는 방법 $_6\mathrm{C}_2 = 15$가지
* 흰 공 2개를 고르는 경우의 수: 흰 공 3개 중 2개를 고르는 방법 $_3\mathrm{C}_2 = 3$가지
* 따라서, 주머니 B에서 흰 공 2개를 꺼낼 확률은 다음과 같습니다.
$$P(\text{흰 공 2개} \mid \text{B}) = \frac{_3\mathrm{C}_2}{_6\mathrm{C}_2} = \frac{3}{15}$$
3단계: '흰 공 2개가 나오는 전체 확률' 구하기
우리가 구하고자 하는 조건부 확률의 분모에 들어갈 "시행 결과 흰 공 2개가 나오는 모든 경우의 확률"을 구해야 합니다. 이 경우는 두 가지 경로로 일어날 수 있습니다.
- 주머니 A를 선택하고, 거기서 흰 공 2개를 꺼내는 경우:
$$P(\text{A} \cap \text{흰 공 2개}) = P(\text{A}) \times P(\text{흰 공 2개} \mid \text{A}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{15} = \frac{1}{45}$$
- 주머니 B를 선택하고, 거기서 흰 공 2개를 꺼내는 경우:
$$P(\text{B} \cap \text{흰 공 2개}) = P(\text{B}) \times P(\text{흰 공 2개} \mid \text{B}) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{15} = \frac{6}{45}$$
따라서, 꺼낸 2개의 공이 모두 흰색일 전체 확률 $P(\text{흰 공 2개})$는 이 두 확률의 합입니다.
$$P(\text{흰 공 2개}) = \frac{1}{45} + \frac{6}{45} = \frac{7}{45}$$
4단계: 조건부 확률 계산하기
문제에서 요구한 것은 "꺼낸 2개의 공이 모두 흰색일 때, 나온 눈의 수가 5 이상(주머니 A 선택)일 확률"입니다.
조건부 확률 공식에 대입해 봅시다.
$$P(\text{A} \mid \text{흰 공 2개}) = \frac{P(\text{A} \cap \text{흰 공 2개})}{P(\text{흰 공 2개})}$$
위에서 구한 값들을 대입하면 다음과 같습니다.
$$P(\text{A} \mid \text{흰 공 2개}) = \frac{\frac{1}{45}}{\frac{7}{45}} = \frac{1}{7}$$
답
**① $\frac{1}{7}$**
확인해보기
이번 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> 질문: 만약 주머니에서 꺼낸 2개의 공이 모두 흰색일 때, 나온 눈의 수가 4 이하(주머니 B 선택)일 확률은 얼마일까요? 방금 구한 답($\frac{1}{7}$)을 이용해서 계산해 보세요.