어떤 문제인가
이 문제는 모집단의 분포를 알고 있을 때, 크기가 다른 표본을 추출하여 얻은 표본평균의 분포를 이해하고, 이를 표준화하여 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 표본평균의 분포: 모집단이 정규분포 $\text{N}(m, \sigma^2)$을 따를 때, 크기가 $n$인 표본의 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\text{N}\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)$을 따릅니다. 즉, 평균은 그대로이지만 표준편차는 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$으로 줄어듭니다.
- 정규분포의 표준화: 서로 다른 정규분포를 비교하기 위해 평균을 $0$, 표준편차를 $1$로 만드는 과정입니다. 공식은 $Z = \frac{\overline{X} - m}{\sigma_{\overline{X}}}$ 입니다.
- 표준정규분포표 읽기: 대칭성을 이용하여 원하는 영역의 확률을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 확률변수 $X$와 $Y$의 분포 정리하기
먼저 문제의 조건 (가)와 (나)를 이용해 두 모집단의 분포를 기호로 나타내 봅시다.
지역 A의 표준편차를 $\sigma$라고 하면, 지역 B의 표준편차는 $1.5\sigma$가 됩니다.
- 지역 A ($X$): 평균이 $220$, 표준편차가 $\sigma$이므로,
$$X \sim \text{N}(220, \sigma^2)$$
- 지역 B ($Y$): 평균이 $240$, 표준편차가 $1.5\sigma$이므로,
$$Y \sim \text{N}(240, (1.5\sigma)^2)$$
2단계: 표본평균 $\overline{X}$와 $\overline{Y}$의 분포 구하기
이제 각각의 모집단에서 표본을 추출했을 때, 표본평균들이 어떤 분포를 따르는지 구해봅시다. 표본의 크기가 커질수록 표본평균의 표준편차는 분모의 $\sqrt{n}$ 때문에 작아진다는 점을 기억하세요!
- **$\overline{X}$의 분포** (표본의 크기 $n$):
$$\overline{X} \sim \text{N}\left(220, \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$$
여기서 $\overline{X}$의 표준편차는 $\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 입니다.
- **$\overline{Y}$의 분포** (표본의 크기 $9n$):
$$\overline{Y} \sim \text{N}\left(240, \left(\frac{1.5\sigma}{\sqrt{9n}}\right)^2\right)$$
여기서 $\overline{Y}$의 표준편차 $\sigma_{\overline{Y}}$를 정리해 볼까요?
$$\sigma_{\overline{Y}} = \frac{1.5\sigma}{\sqrt{9n}} = \frac{1.5\sigma}{3\sqrt{n}} = 0.5 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
어때요? $\overline{Y}$의 표준편차는 $\overline{X}$의 표준편차의 딱 절반($0.5$배)이 된다는 아주 예쁜 관계를 찾아냈습니다!
3단계: 주어진 확률로 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$의 값 구하기
문제에서 $\text{P}(\overline{X} \le 215) = 0.1587$이라고 주어졌습니다. 이 식을 표준화해 봅시다.
표준화 공식 $Z = \frac{\overline{X} - 220}{\sigma/\sqrt{n}}$을 적용하면,
$$\text{P}\left( Z \le \frac{215 - 220}{\sigma/\sqrt{n}} \right) = 0.1587$$
$$\text{P}\left( Z \le \frac{-5}{\sigma/\sqrt{n}} \right) = 0.1587$$
표준정규분포는 $0$을 기준으로 좌우대칭입니다. $Z$가 어떤 음수값보다 작을 확률이 $0.1587$이라는 것은, 반대로 양수값보다 클 확률이 $0.1587$이라는 뜻과 같습니다.
즉, $0.5 - \text{P}\left(0 \le Z \le \frac{5}{\sigma/\sqrt{n}}\right) = 0.1587$ 이므로,
$$\text{P}\left(0 \le Z \le \frac{5}{\sigma/\sqrt{n}}\right) = 0.5 - 0.1587 = 0.3413$$
오른쪽 표준정규분포표에서 확률이 $0.3413$이 되는 $z$ 값을 찾아보니 $1.0$이네요!
따라서,
$$\frac{5}{\sigma/\sqrt{n}} = 1.0 \implies \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 5$$
를 얻을 수 있습니다.
4단계: 구하고자 하는 확률 $\text{P}(\overline{Y} \ge 235)$ 계산하기
이제 마지막 단계입니다. 우리가 구해야 할 확률은 $\text{P}(\overline{Y} \ge 235)$입니다.
먼저 $\overline{Y}$의 표준편차를 구합니다. 2단계에서 구한 식에 3단계의 결과를 대입해 봅시다.
$$\sigma_{\overline{Y}} = 0.5 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 0.5 \times 5 = 2.5$$
이제 $\overline{Y}$를 표준화합니다. 평균이 $240$이고 표준편차가 $2.5$이므로,
$$\text{P}(\overline{Y} \ge 235) = \text{P}\left( Z \ge \frac{235 - 240}{2.5} \right)$$
$$\text{P}(Z \ge -2.0)$$
표준정규분포의 대칭성을 이용해 이 확률을 표현하면 다음과 같습니다.
$$\text{P}(Z \ge -2.0) = 0.5 + \text{P}(0 \le Z \le 2.0)$$
표에서 $z=2.0$일 때의 확률을 찾으면 $0.4772$입니다.
$$\text{P}(Z \ge -2.0) = 0.5 + 0.4772 = 0.9772$$
답
정답은 **⑤ $0.9772$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문: 표본의 크기 $n$이 커질수록 표본평균의 표준편차는 커질까요, 아니면 작아질까요? 그리고 이에 따라 표본평균이 모평균에 가까운 값을 가질 확률은 어떻게 변할지 생각해보세요.