어떤 문제인가
이 문제는 주어진 세 가지 조건(가, 나, 다)을 모두 만족하는 함수 $f: X \to X$의 개수를 구하는 경우의 수 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 합의 법칙과 경우 분류: 조건 (가)를 만족하는 $f(3) + f(4)$의 값을 기준으로 상황을 나누어 생각합니다.
- 곱의 법칙: $f(3)$과 $f(4)$의 값이 결정되었을 때, 나머지 $f(1), f(2), f(5), f(6)$의 값을 결정하는 방법의 수를 각각 구해 곱합니다.
- 부등식 조건의 해석: $f(a) < f(b)$라는 조건은 $f(a)$가 가질 수 있는 값의 범위를 제한한다는 것을 이해합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 만족하는 $f(3) + f(4)$의 후보 찾기
함수의 공역이 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$이므로, 함숫값 $f(3)$과 $f(4)$는 각각 $1$ 이상 $6$ 이하의 자연수입니다.
따라서 두 함숫값의 합 $f(3) + f(4)$가 가질 수 있는 값의 범위는 다음과 같습니다.
$$2 \le f(3) + f(4) \le 12$$
이 범위에 있는 수 중에서 **$5$의 배수는 $5$와 $10$**뿐입니다.
즉, 우리는 다음 두 가지 경우로 나누어 문제를 풀어야 합니다.
- [경우 1] $f(3) + f(4) = 5$
- [경우 2] $f(3) + f(4) = 10$
2단계: 조건 (나)와 (다)를 만족하기 위한 $f(3)$과 $f(4)$의 범위 제한하기
나머지 조건들을 살펴보며 $f(3)$과 $f(4)$가 가질 수 있는 값의 범위를 더 좁혀봅시다.
- 조건 (나): $f(1) < f(3)$ 이고 $f(2) < f(3)$
$f(1)$과 $f(2)$는 최소한 $1$ 이상의 값을 가져야 하므로, 이 조건이 성립하려면 $f(3)$은 최소한 $2$ 이상이어야 합니다.
$$\therefore f(3) \ge 2$$
- 조건 (다): $f(4) < f(5)$ 이고 $f(4) < f(6)$
$f(5)$와 $f(6)$은 아무리 커도 $6$ 이하의 값을 가져야 하므로, 이 조건이 성립하려면 $f(4)$는 아무리 커도 $5$ 이하여야 합니다.
$$\therefore f(4) \le 5$$
3단계: 각 함숫값을 결정하는 경우의 수 공식 세우기
$f(3)$과 $f(4)$의 값이 정해졌을 때, 나머지 원소들의 함숫값을 정하는 방법의 수를 구해봅시다.
- **$f(1)$과 $f(2)$를 정하는 방법**:
$f(1)$과 $f(2)$는 $1$부터 $f(3)-1$까지의 자연수 중에서 자유롭게 고를 수 있습니다. (서로 같은 값을 가져도 상관없습니다.)
따라서 각각 $f(3)-1$가지의 선택지가 있으므로, 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$(f(3)-1) \times (f(3)-1) = (f(3)-1)^2$$
- **$f(5)$와 $f(6)$을 정하는 방법**:
$f(5)$와 $f(6)$은 $f(4)+1$부터 $6$까지의 자연수 중에서 자유롭게 고를 수 있습니다.
선택할 수 있는 수의 개수는 $6 - f(4)$개이므로, 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$(6-f(4)) \times (6-f(4)) = (6-f(4))^2$$
4단계: [경우 1] $f(3) + f(4) = 5$인 경우 계산하기
$f(3) \ge 2$이고 $f(4) \le 5$인 조건을 만족하는 순서쌍 $(f(3), f(4))$를 찾고, 각각의 경우의 수를 구합니다.
- **$(f(3), f(4)) = (2, 3)$인 경우**
- $f(1), f(2)$를 정하는 방법: $(2-1)^2 = 1^2 = 1$
- $f(5), f(6)$을 정하는 방법: $(6-3)^2 = 3^2 = 9$
- 경우의 수: $1 \times 9 = 9$
- **$(f(3), f(4)) = (3, 2)$인 경우**
- $f(1), f(2)$를 정하는 방법: $(3-1)^2 = 2^2 = 4$
- $f(5), f(6)$을 정하는 방법: $(6-2)^2 = 4^2 = 16$
- 경우의 수: $4 \times 16 = 64$
- **$(f(3), f(4)) = (4, 1)$인 경우**
- $f(1), f(2)$를 정하는 방법: $(4-1)^2 = 3^2 = 9$
- $f(5), f(6)$을 정하는 방법: $(6-1)^2 = 5^2 = 25$
- 경우의 수: $9 \times 25 = 225$
*(참고: $f(3)=5$이면 $f(4)=0$이 되어 공역을 벗어나므로 제외합니다.)*
따라서 [경우 1]의 총 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$9 + 64 + 225 = 298$$
5단계: [경우 2] $f(3) + f(4) = 10$인 경우 계산하기
마찬가지로 $f(3) \ge 2$이고 $f(4) \le 5$인 조건을 만족하는 순서쌍 $(f(3), f(4))$를 찾습니다.
- **$(f(3), f(4)) = (5, 5)$인 경우**
- $f(1), f(2)$를 정하는 방법: $(5-1)^2 = 4^2 = 16$
- $f(5), f(6)$을 정하는 방법: $(6-5)^2 = 1^2 = 1$
- 경우의 수: $16 \times 1 = 16$
- **$(f(3), f(4)) = (6, 4)$인 경우**
- $f(1), f(2)$를 정하는 방법: $(6-1)^2 = 5^2 = 25$
- $f(5), f(6)$을 정하는 방법: $(6-4)^2 = 2^2 = 4$
- 경우의 수: $25 \times 4 = 100$
*(참고: $f(3)=4$이면 $f(4)=6$이 되어 $f(4) \le 5$ 조건을 만족하지 못하므로 제외합니다.)*
따라서 [경우 2]의 총 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$16 + 100 = 116$$
6단계: 전체 경우의 수 합산하기
두 경우는 동시에 일어날 수 없으므로, 각각 구한 경우의 수를 더합니다.
$$\text{전체 함수 개수} = 298 + 116 = 414$$
답
④ 414
확인해보기
만약 조건 (나)가 다음과 같이 등호가 포함된 조건으로 바뀐다면, $f(3) = 3$일 때 $f(1)$과 $f(2)$를 정하는 경우의 수는 어떻게 변할지 생각해보세요.
> (나) $f(1) \le f(3)$ 이고 $f(2) \le f(3)$ 이다.