어떤 문제인가
이 문제는 두 이산확률변수 $X$와 $Y$의 확률분포표를 보고, 주어진 $X$의 분산을 이용하여 $Y$의 분산을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 확률분포의 대칭성과 평균: 확률분포가 좌우 대칭이면 평균을 아주 쉽게 구할 수 있습니다.
- 분산의 정의: 분산은 '편차의 제곱의 평균'입니다. 즉, $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}((X-m)^2)$ (단, $m$은 평균) 공식을 사용하면 계산이 훨씬 간단해집니다.
단계별 풀이
1단계: $X$와 $Y$의 평균 구하기
평균을 구하기 위해 먼저 두 확률변수의 확률분포표를 가만히 들여다봅시다.
$X$가 가질 수 있는 값은 $1, 3, 5, 7, 9$로, 가운데 값인 $5$를 기준으로 좌우 대칭입니다. 확률 또한 $a, b, c, b, a$로 $5$를 기준으로 좌우 대칭이지요?
이렇게 확률분포가 완전히 대칭을 이룰 때, 평균은 계산해보지 않아도 정중앙에 있는 값인 $5$가 됩니다.
실제로 계산을 통해 확인해 볼까요? 확률의 총합은 $1$이므로 $2a + 2b + c = 1$입니다.
$$\mathrm{E}(X) = 1 \cdot a + 3 \cdot b + 5 \cdot c + 7 \cdot b + 9 \cdot a$$
$$\mathrm{E}(X) = 10a + 10b + 5c = 5(2a + 2b + c) = 5 \cdot 1 = 5$$
마찬가지로 $Y$의 확률분포를 보면, 값은 $1, 3, 5, 7, 9$이고 확률은 $a+\frac{1}{20}, b, c-\frac{1}{10}, b, a+\frac{1}{20}$입니다. 이 역시 $5$를 기준으로 좌우 대칭입니다.
따라서 $Y$의 평균도 계산할 필요 없이 $5$가 됩니다.
$$\mathrm{E}(Y) = 5$$
2단계: $X$의 분산 $\mathrm{V}(X)$를 식으로 나타내기
분산의 정의인 $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}((X-m)^2)$를 이용해 봅시다. 평균 $m = 5$이므로, 각 값에서 $5$를 뺀 '편차의 제곱'에 확률을 곱해서 더하면 됩니다.
$$\mathrm{V}(X) = (1-5)^2 \cdot a + (3-5)^2 \cdot b + (5-5)^2 \cdot c + (7-5)^2 \cdot b + (9-5)^2 \cdot a$$
$$\mathrm{V}(X) = 16a + 4b + 0 + 4b + 16a$$
$$\mathrm{V}(X) = 32a + 8b$$
문제에서 $\mathrm{V}(X) = \frac{31}{5}$라고 주어졌으므로, 우리는 다음 식을 얻을 수 있습니다.
$$32a + 8b = \frac{31}{5}$$
3단계: $Y$의 분산 $\mathrm{V}(Y)$를 식으로 나타내고 계산하기
이제 같은 방법으로 $Y$의 분산 $\mathrm{V}(Y)$를 구해봅시다. $Y$의 평균도 $5$이므로 식은 다음과 같습니다.
$$\mathrm{V}(Y) = (1-5)^2 \left(a + \frac{1}{20}\right) + (3-5)^2 \cdot b + (5-5)^2 \left(c - \frac{1}{10}\right) + (7-5)^2 \cdot b + (9-5)^2 \left(a + \frac{1}{20}\right)$$
$$\mathrm{V}(Y) = 16\left(a + \frac{1}{20}\right) + 4b + 0 + 4b + 16\left(a + \frac{1}{20}\right)$$
$$\mathrm{V}(Y) = 32\left(a + \frac{1}{20}\right) + 8b$$
괄호를 풀어서 정리해 볼까요?
$$\mathrm{V}(Y) = 32a + \frac{32}{20} + 8b$$
$$\mathrm{V}(Y) = (32a + 8b) + \frac{8}{5}$$
오! 식 안에 우리가 2단계에서 구한 $32a + 8b$가 그대로 들어있네요!
여기에 $32a + 8b = \frac{31}{5}$를 대입합니다.
$$\mathrm{V}(Y) = \frac{31}{5} + \frac{8}{5} = \frac{39}{5}$$
4단계: 최종 값 구하기
우리가 구해야 하는 값은 $10 \times \mathrm{V}(Y)$입니다.
$$10 \times \mathrm{V}(Y) = 10 \times \frac{39}{5} = 2 \times 39 = 78$$
답
$$78$$
확인해보기
위에서 설명한 '대칭성'을 잘 이해했는지 확인해봅시다.
> 질문: 어떤 확률변수 $W$가 가질 수 있는 값이 $2, 4, 6, 8, 10$이고, 각각의 확률이 $p, q, r, q, p$ (단, $2p+2q+r=1$)라고 합니다. 이 확률변수 $W$의 평균 $\mathrm{E}(W)$는 얼마일까요? 계산하지 않고 대칭성을 이용해서 답해 보세요!