어떤 문제인가
이 문제는 같은 종류의 물건(사인펜 14개)을 서로 다른 사람(학생 4명)에게 나누어 주는 상황에서, 몇 가지 까다로운 조건들을 만족하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **중복조합 ($_nH_r$)**: 서로 다른 $n$개에서 중복을 허용하여 $r$개를 택하는 경우의 수로, 대상을 나누어 주는 기본 틀을 잡을 때 사용합니다.
- 치환을 통한 조건 단순화: '1개 이상'이라는 조건을 '0개 이상'으로 바꾸어 중복조합 공식에 바로 적용할 수 있도록 만듭니다.
- 여사건 (Complementary Event): '적어도 하나는 짝수'라는 복잡한 조건 대신, 전체에서 '모두 홀수인 경우'를 빼서 구하는 것이 훨씬 쉽습니다.
단계별 풀이
1단계: 문제를 수학적 식으로 나타내기
네 명의 학생 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 받는 사인펜의 개수를 각각 $a, b, c, d$라고 합시다. 사인펜은 총 14개이므로 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다.
$$a + b + c + d = 14$$
여기에 문제의 조건들을 적용해 봅시다.
- 조건 (가)에 의해 각 학생은 최소 1개 이상 받아야 하므로: $a, b, c, d \ge 1$ (자연수)
- 조건 (나)에 의해 각 학생은 최대 9개 이하로 받아야 하므로: $a, b, c, d \le 9$
2단계: '1개 이상' 조건을 '0개 이상'으로 바꾸기 (치환)
중복조합 공식($_nH_r$)을 쓰려면 변수가 $0$ 이상이어야 편리합니다. 따라서 다음과 같이 치환합니다.
$$a = a' + 1, \quad b = b' + 1, \quad c = c' + 1, \quad d = d' + 1 \quad (a', b', c', d' \ge 0)$$
이 식을 원래 방정식에 대입하면:
$$(a' + 1) + (b' + 1) + (c' + 1) + (d' + 1) = 14$$
$$a' + b' + c' + d' = 10$$
이때, 원래 조건 $a, b, c, d \le 9$는 치환된 변수에서 $a', b', c', d' \le 8$이 됩니다.
3단계: 조건 (가)와 (나)를 만족하는 전체 경우의 수 구하기
우선 $a' + b' + c' + d' = 10$을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수(전체 경우)를 구한 뒤, 변수 중 어느 하나라도 $8$을 초과하는(즉, $9$ 이상이 되는) 안 되는 경우를 빼주겠습니다.
- 아무 조건이 없을 때의 중복조합 수:
$${}_4\mathrm{H}_{10} = {}_{4+10-1}\mathrm{C}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$$
- **조건을 만족하지 않는 경우 (어느 한 변수가 $9$ 이상인 경우)**:
합이 10이므로 두 변수가 동시에 9 이상이 될 수는 없습니다. 따라서 한 변수만 9 이상인 경우를 찾으면 됩니다.
* 어느 한 변수가 10인 경우: $(10, 0, 0, 0)$과 같이 한 명에게 몰아주는 경우입니다. 이 값을 가질 변수 1개를 고르는 방법은 $4$가지입니다.
* 어느 한 변수가 9인 경우: 예를 들어 $a'=9$라면, 나머지 $b'+c'+d'=1$이 되어야 합니다.
* 9를 가질 변수 1개를 고르는 방법: $4$가지
* 나머지 1을 나누어 갖는 방법: ${}_3\mathrm{H}_1 = 3$가지
* 따라서 이 경우의 수는 $4 \times 3 = 12$가지입니다.
따라서 조건 (가), (나)를 만족하는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 286 - (4 + 12) = 270$$
4단계: 조건 (다)의 여사건 구하기 (모두 홀수인 경우)
조건 (다)는 "적어도 한 학생은 짝수 개의 사인펜을 받는다"입니다. 이 조건의 반대(여사건)는 "모든 학생이 홀수 개의 사인펜을 받는다"입니다.
$a, b, c, d$가 모두 홀수이면서 $1$ 이상 $9$ 이하인 경우를 구해봅시다.
홀수를 표현하기 위해 다음과 같이 치환합니다.
$$a = 2x + 1, \quad b = 2y + 1, \quad c = 2z + 1, \quad d = 2w + 1$$
(여기서 $x, y, z, w$는 $0$ 이상 $4$ 이하의 정수입니다. 그래야 $a, b, c, d$가 $1$ 이상 $9$ 이하의 홀수가 됩니다.)
이 식을 원래 방정식 $a+b+c+d=14$에 대입하면:
$$(2x+1) + (2y+1) + (2z+1) + (2w+1) = 14$$
$$2(x+y+z+w) + 4 = 14$$
$$2(x+y+z+w) = 10$$
$$x + y + z + w = 5$$
5단계: 모두 홀수인 경우의 수 계산하기
이제 $x + y + z + w = 5$를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하되, $x, y, z, w \le 4$라는 조건을 지켜야 합니다.
- 기본 중복조합 수:
$${}_4\mathrm{H}_5 = {}_{4+5-1}\mathrm{C}_5 = {}_8\mathrm{C}_5 = {}_8\mathrm{C}_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$
- **조건을 만족하지 않는 경우 (어느 한 변수가 $5$ 이상인 경우)**:
합이 5이므로 한 변수가 5가 되면 나머지는 모두 0이 되어야 합니다. 즉, $(5, 0, 0, 0)$과 같은 형태입니다.
이 값을 가질 변수 1개를 고르는 방법은 $4$가지입니다.
따라서 모든 학생이 홀수 개의 사인펜을 받는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{모두 홀수인 경우의 수} = 56 - 4 = 52$$
6단계: 최종 답 구하기
조건 (가), (나)를 만족하는 전체 경우의 수에서 모두 홀수인 경우의 수를 빼줍니다.
$$\text{최종 경우의 수} = 270 - 52 = 218$$
답
$$218$$
확인해보기
위 풀이의 3단계에서, 만약 조건 (나)가 "각 학생이 받는 사인펜의 개수는 8개 이하이다"로 바뀐다면, $a', b', c', d' \le 7$이 되어야 합니다. 이 경우 $a'+b'+c'+d'=10$에서 제외해야 하는 '조건을 만족하지 않는 경우(어느 한 변수가 8 이상인 경우)'는 어떻게 계산해야 할지 스스로 생각해 보세요.