어떤 문제인가
이 문제는 $n$이 무한히 커질 때($n \to \infty$), 주어진 분수식의 값이 어디로 가까워지는지(극한값)를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 기억해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **무한대 분의 상수 ($\frac{c}{n^p} \to 0$):** $n$이 무한히 커질 때, 분모가 계속 커지는 분수식 $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$, $\frac{1}{n^3}$ 등은 모두 $0$에 가까워집니다.
- 분수의 성질: 분수식의 분자와 분모에 같은 식을 곱해도 분수의 값은 변하지 않습니다. 이 성질을 이용해 복잡한 식을 보기 좋게 정리할 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 식의 형태 관찰하고 단순화할 방법 찾기
주어진 식을 그대로 두고 $n \to \infty$를 대입하려고 하면, 분자와 분모가 모두 $0$으로 수렴하는 $\frac{0}{0}$ 꼴이 되어 바로 답을 구하기 어렵습니다.
따라서 분수식을 더 간단하게 만들어야 합니다. 분자와 분모에 있는 번거로운 분모들($n, n^2, n^3$)을 정리하기 위해, 분자와 분모에 똑같이 $n$을 곱해봅시다.
$$\frac{\left(\frac{5}{n} + \frac{3}{n^2}\right) \times n}{\left(\frac{1}{n} - \frac{2}{n^3}\right) \times n}$$
2단계: 식 전개하기
분자와 분모에 각각 $n$을 분배법칙을 이용해 곱해줍니다.
- 분자:
$$\left(\frac{5}{n} + \frac{3}{n^2}\right) \times n = \frac{5n}{n} + \frac{3n}{n^2} = 5 + \frac{3}{n}$$
- 분모:
$$\left(\frac{1}{n} - \frac{2}{n^3}\right) \times n = \frac{n}{n} - \frac{2n}{n^3} = 1 - \frac{2}{n^2}$$
이제 원래 식은 다음과 같이 아주 깔끔하게 정리됩니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{n}}{1 - \frac{2}{n^2}}$$
3단계: 극한값 계산하기
이제 $n$을 무한대($\infty$)로 보내봅시다.
앞서 배운 개념에 의해, $n \to \infty$일 때 다음이 성립합니다.
- $\frac{3}{n} \to 0$
- $\frac{2}{n^2} \to 0$
이 값들을 식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{n}}{1 - \frac{2}{n^2}} = \frac{5 + 0}{1 - 0} = \frac{5}{1} = 5$$
답
⑤ 5
확인해보기
위 풀이에서는 분자와 분모에 $n$을 곱해서 식을 정리했습니다. 만약 분자와 분모에 $n$ 대신 **$n^3$을 곱해서** 식을 정리한 뒤 극한값을 구하면 어떻게 될까요? 직접 식을 쓰고 계산해 보세요. (결과는 당연히 같아야겠지요?)