어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 식 $f(x^3+x) = e^x$를 이용해서 특정 지점에서의 미분계수인 $f'(2)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 합성함수의 미분법 (연쇄 법칙, Chain Rule): $f(g(x))$를 미분하면 $f'(g(x)) \cdot g'(x)$가 된다는 성질을 이용합니다.
- 방정식의 해 구하기: $f'(2)$를 구하기 위해 $x^3+x=2$를 만족하는 실수 $x$의 값을 찾아야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 식의 양변을 $x$에 대해 미분하기
우리가 구하고자 하는 것은 $f'(2)$이므로, 먼저 주어진 식 $f(x^3+x) = e^x$의 양변을 $x$에 대해 미분해야 합니다.
좌변은 $f(x)$ 안에 $x^3+x$라는 다른 함수가 들어가 있는 합성함수 형태입니다. 따라서 합성함수의 미분법을 적용해야 합니다.
- 좌변 미분: 겉미분과 속미분을 차례로 해줍니다.
$$\frac{d}{dx}[f(x^3+x)] = f'(x^3+x) \cdot \frac{d}{dx}(x^3+x) = f'(x^3+x) \cdot (3x^2+1)$$
- 우변 미분: 지수함수 $e^x$의 미분은 자기 자신입니다.
$$\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$$
양변의 미분 결과를 같다고 놓으면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$f'(x^3+x) \cdot (3x^2+1) = e^x \quad \cdots \quad (\ast)$$
2단계: $f'(2)$를 만들기 위한 $x$의 값 찾기
우리가 최종적으로 구하고 싶은 값은 $f'(2)$입니다. 식 $(\ast)$에서 $f'(\text{괄호 안})$의 괄호 부분이 $2$가 되어야 하므로, 다음 방정식을 만족하는 실수 $x$를 찾아야 합니다.
$$x^3+x = 2$$
이 방정식을 풀기 위해 $2$를 좌변으로 이항해 봅시다.
$$x^3+x-2 = 0$$
조립제법이나 직관을 통해 $x=1$을 대입하면 $1^3+1-2 = 0$이 되어 $x=1$이 근임을 알 수 있습니다. 인수분해를 해보면 다음과 같습니다.
$$(x-1)(x^2+x+2) = 0$$
여기서 이차식 $x^2+x+2 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}$은 항상 $0$보다 크므로 실근을 갖지 않습니다. 따라서 만족하는 실수는 오직 **$x=1$**뿐입니다.
3단계: $x=1$을 대입하여 $f'(2)$ 구하기
이제 1단계에서 구한 식 $(\ast)$에 $x=1$을 대입해 봅시다.
$$f'(1^3+1) \cdot (3 \cdot 1^2 + 1) = e^1$$
$$f'(2) \cdot 4 = e$$
양변을 $4$로 나누면 우리가 원하는 $f'(2)$의 값을 얻을 수 있습니다.
$$f'(2) = \frac{e}{4}$$
답
**④ $\frac{e}{4}$**
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 만약 어떤 미분가능한 함수 $g(x)$가 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $g(x^2+x) = \ln(x)$를 만족할 때, $g'(2)$의 값을 구하려면 양변을 미분한 식에 $x$ 대신 어떤 값을 대입해야 할까요? (답은 직접 구해보지 않고, 대입해야 할 $x$의 값만 생각해 보세요!)