어떤 문제인가
이 문제는 무한등비급수(Infinite Geometric Series)의 성질을 이용하여 미지의 등비수열을 구하고, 그 수열의 합을 찾는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 머릿속에 정리해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $a_n = a r^{n-1}$입니다.
- 무한등비급수의 수렴 조건과 합: 공비 $r$의 범위가 $-1 < r < 1$일 때, 무한등비급수는 수렴하며 그 합은 $S = \frac{a}{1-r}$입니다.
- 새로운 수열의 첫째항과 공비 찾기: 원래 수열을 변형하여 만든 새로운 수열($a_{2n-1}-a_{2n}$ 또는 $a_n^2$)의 첫째항과 공비를 $a$와 $r$로 표현하는 것이 핵심입니다.
단계별 풀이
1단계: 등비수열 $\{a_n\}$의 기본 설정하기
먼저 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 합시다. (단, 급수가 수렴하므로 $|r| < 1$입니다.)
그러면 수열의 각 항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$a_1 = a, \quad a_2 = ar, \quad a_3 = ar^2, \quad a_4 = ar^3, \quad \dots$$
2단계: 첫 번째 조건식 정리하기
첫 번째 조건은 $\sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} - a_{2n}) = 3$입니다. 이 급수의 항들을 직접 나열해 볼까요?
- $n=1$일 때: $a_1 - a_2 = a - ar = a(1-r)$
- $n=2$일 때: $a_3 - a_4 = ar^2 - ar^3 = ar^2(1-r)$
- $n=3$일 때: $a_5 - a_6 = ar^4 - ar^5 = ar^4(1-r)$
이 수열은 **첫째항이 $a(1-r)$이고, 공비가 $r^2$**인 새로운 등비수열입니다!
따라서 무한등비급수 공식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} - a_{2n}) = \frac{a(1-r)}{1-r^2} = 3$$
여기서 분모의 $1-r^2$을 인수분해하면 $(1-r)(1+r)$이 되므로, 분자·분모의 $(1-r)$을 약분할 수 있습니다. (단, $r \neq 1$)
$$\frac{a(1-r)}{(1-r)(1+r)} = \frac{a}{1+r} = 3$$
정리하면, 첫 번째 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$a = 3(1+r) \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
3단계: 두 번째 조건식 정리하기
두 번째 조건은 $\sum_{n=1}^{\infty} {a_n}^2 = 6$입니다. 각 항을 제곱한 수열을 나열해 봅시다.
$${a_1}^2, \quad {a_2}^2, \quad {a_3}^2, \quad \dots \implies a^2, \quad a^2r^2, \quad a^2r^4, \quad \dots$$
이 수열은 **첫째항이 $a^2$이고, 공비가 $r^2$**인 등비수열입니다.
마찬가지로 무한등비급수 공식에 대입해 봅시다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} {a_n}^2 = \frac{a^2}{1-r^2} = 6 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
4단계: 연립방정식 풀어 $a$와 $r$ 구하기
이제 (식 1)을 (식 2)에 대입하여 공비 $r$을 구해봅시다.
(식 1)의 $a = 3(1+r)$을 (식 2)의 분자에 대입합니다.
$$\frac{\{3(1+r)\}^2}{1-r^2} = 6$$
$$\frac{9(1+r)^2}{(1-r)(1+r)} = 6$$
분자·분모에서 $(1+r)$을 하나씩 약분합니다. (단, $r \neq -1$)
$$\frac{9(1+r)}{1-r} = 6$$
양변에 $(1-r)$을 곱해 정리합니다.
$$9(1+r) = 6(1-r)$$
$$9 + 9r = 6 - 6r$$
$$15r = -3$$
$$r = -\frac{1}{5}$$
구한 공비 $r = -\frac{1}{5}$을 (식 1)에 대입하여 첫째항 $a$를 구합니다.
$$a = 3\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$$
5단계: 최종 구하고자 하는 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 원래 수열의 무한등비급수 합인 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$입니다.
이 급수의 첫째항은 $a = \frac{12}{5}$이고, 공비는 $r = -\frac{1}{5}$이므로 공식에 대입합니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{12}{5}}{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{6}{5}} = \frac{12}{6} = 2$$
답
**② $2$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여, 세 항씩 건너뛰어 만든 새로운 수열 $\{a_{3n}\}$의 무한등비급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{3n}$이 수렴할 때, 이 급수의 첫째항과 공비를 $a$와 $r$을 사용하여 각각 나타내면 무엇일까요?