어떤 문제인가
이 문제는 수열의 극한과 합($\Sigma$)이 결합된 형태를 정적분으로 바꾸어 해결하는 '정적분과 급수의 관계' 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정적분과 급수의 관계: 무한급수를 정적분으로 바꿀 때, $\frac{k}{n}$를 $x$로, $\frac{1}{n}$을 $dx$로 바꾸는 아이디어
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} f(x) dx$$
- 치환적분법: 분모를 미분한 형태가 분자에 있을 때 사용하는 적분 기술
$$\int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = \ln|g(x)| + C$$
단계별 풀이
1단계: 식을 $\frac{k}{n}$과 $\frac{1}{n}$ 형태로 변형하기
우리가 가진 식은 분수 형태입니다. 정적분으로 바꾸려면 식 안에 $\frac{k}{n}$ 모양이 나타나도록 해야 합니다. 분모의 최고차항이 $n^3$에 가까우므로, **분모와 분자를 각각 $n^3$으로 나누어 봅시다.**
주어진 식의 일반항을 변형해 볼까요?
$$\frac{k^2 + 2kn}{k^3 + 3k^2n + n^3}$$
분모, 분자를 $n^3$으로 나누면 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{\frac{k^2}{n^3} + \frac{2kn}{n^3}}{\frac{k^3}{n^3} + \frac{3k^2n}{n^3} + \frac{n^3}{n^3}} = \frac{\frac{1}{n} \left[ \left(\frac{k}{n}\right)^2 + 2\left(\frac{k}{n}\right) \right]}{\left(\frac{k}{n}\right)^3 + 3\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1}$$
이 식을 보기 좋게 $\frac{1}{n}$을 뒤로 빼서 써볼게요.
$$\frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 2\left(\frac{k}{n}\right)}{\left(\frac{k}{n}\right)^3 + 3\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1} \cdot \frac{1}{n}$$
이제 우리가 원하는 $\frac{k}{n}$과 $\frac{1}{n}$의 형태가 아주 예쁘게 만들어졌습니다!
2단계: 급수를 정적분으로 바꾸기
이제 정적분과 급수의 관계를 적용해 봅시다.
- $x = \frac{k}{n}$로 치환합니다.
- $k$가 $1$부터 $n$까지 변할 때, $n \to \infty$이므로 적분 구간은 $0$부터 $1$까지가 됩니다.
- $\frac{1}{n}$은 $dx$가 됩니다.
이 규칙을 적용하여 원래의 극한 식을 정적분 식으로 바꾸면 다음과 같습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 2\left(\frac{k}{n}\right)}{\left(\frac{k}{n}\right)^3 + 3\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1} \cdot \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx$$
3단계: 치환적분법으로 정적분 계산하기
이제 이 정적분을 계산할 차례입니다. 분모를 가만히 보니, 미분하면 분자와 아주 비슷한 모양이 나올 것 같네요!
분모를 $t$로 치환해 봅시다.
$$t = x^3 + 3x^2 + 1$$
양변을 $x$에 대해 미분하면,
$$dt = (3x^2 + 6x) dx = 3(x^2 + 2x) dx$$
따라서, 분자에 있는 식은 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
$$(x^2 + 2x) dx = \frac{1}{3} dt$$
적분 구간도 $x$에서 $t$로 바꾸어 줍니다.
- $x = 0$ 일 때, $t = 0^3 + 3(0)^2 + 1 = 1$
- $x = 1$ 일 때, $t = 1^3 + 3(1)^2 + 1 = 5$
이제 식을 $t$에 대한 정적분으로 다시 씁니다.
$$\int_{0}^{1} \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx = \int_{1}^{5} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{3} dt$$
$$\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{1}{t} dt = \frac{1}{3} \Big[ \ln|t| \Big]_{1}^{5}$$
$$\frac{1}{3} (\ln 5 - \ln 1) = \frac{1}{3} \ln 5 = \frac{\ln 5}{3}$$
답
정답은 ③ $\frac{\ln 5}{3}$ 입니다.
확인해보기
오늘 배운 '정적분과 급수의 관계'를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문:
다음 극한 식을 정적분 식으로 바꾸면 어떻게 될까요? (직접 계산하지 말고, 정적분 기호 $\int$를 사용한 식까지만 만들어 보세요.)
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^2 + n^2}$$
*(힌트: 분모와 분자를 $n^2$으로 나누어 $\frac{k}{n}$ 모양을 만들어 보세요!)*