어떤 문제인가
이 문제는 좌표평면 위를 움직이는 점의 움직인 거리(곡선의 길이)를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 두 도형의 교점의 중점을 구하기 위해 사용합니다.
- 매개변수로 나타내어진 점의 위치: 점 $\mathrm{P}$의 좌표 $(x, y)$를 시각 $t$에 대한 식으로 나타냅니다.
- 평면 위를 움직이는 점이 움직인 거리: 속력(속도 벡터의 크기)을 시간 구간에 대해 정적분하여 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 시각 $t$에 대한 식으로 나타내기
곡선 $y=x^2$과 직선 $y=t^2x-\frac{\ln t}{8}$가 만나는 두 점의 $x$좌표를 각각 $\alpha, \beta$라고 해봅시다.
두 식을 연립하면 다음과 같은 $x$에 대한 이차방정식을 얻을 수 있습니다.
$$x^2 = t^2x - \frac{\ln t}{8}$$
$$x^2 - t^2x + \frac{\ln t}{8} = 0$$
이 방정식의 두 실근이 바로 두 교점의 $x$좌표인 $\alpha, \beta$입니다.
근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 다음과 같습니다.
$$\alpha + \beta = t^2$$
점 $\mathrm{P}$는 두 교점의 중점이므로, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표(편의상 $x$라 함)는 두 교점의 $x$좌표의 평균입니다.
$$x = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{t^2}{2}$$
또한, 점 $\mathrm{P}$는 두 교점을 잇는 선분(즉, 직선) 위의 점이기도 하므로 직선의 방정식 $y = t^2x - \frac{\ln t}{8}$에 위에서 구한 $x$를 대입하여 $y$좌표를 구할 수 있습니다.
$$y = t^2 \left(\frac{t^2}{2}\right) - \frac{\ln t}{8} = \frac{t^4}{2} - \frac{\ln t}{8}$$
따라서 시각 $t$에서 점 $\mathrm{P}$의 위치는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(t) = \left( \frac{t^2}{2}, \frac{t^4}{2} - \frac{\ln t}{8} \right)$$
2단계: 점 $\mathrm{P}$의 속도와 속력 구하기
움직인 거리를 구하려면 먼저 속력을 알아야 합니다. 속력은 속도 벡터의 크기이므로, $x$와 $y$를 각각 $t$에 대해 미분해 봅시다.
$$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2}{2}\right) = t$$
$$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^4}{2} - \frac{\ln t}{8}\right) = 2t^3 - \frac{1}{8t}$$
이제 속력(속도의 크기)을 구하기 위해 각 성분의 제곱의 합을 구합니다.
$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = t^2 + \left(2t^3 - \frac{1}{8t}\right)^2$$
괄호를 전개해서 정리해 볼까요?
$$= t^2 + \left(4t^6 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{64t^2}\right)$$
$$= 4t^6 + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{64t^2}$$
놀랍게도 이 식은 다시 완전제곱식으로 묶입니다!
$$= \left(2t^3 + \frac{1}{8t}\right)^2$$
따라서 점 $\mathrm{P}$의 속력은 다음과 같습니다. ($t>0$이므로 절댓값 기호 없이 양수로 나옵니다.)
$$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{\left(2t^3 + \frac{1}{8t}\right)^2} = 2t^3 + \frac{1}{8t}$$
3단계: $t=1$에서 $t=e$까지 움직인 거리 구하기
움직인 거리 $s$는 속력을 시간 $t$에 대해 $1$부터 $e$까지 정적분하여 구합니다.
$$s = \int_{1}^{e} \left(2t^3 + \frac{1}{8t}\right) dt$$
각 항을 적분해 봅시다.
$$s = \left[ \frac{1}{2}t^4 + \frac{1}{8}\ln t \right]_{1}^{e}$$
위끝 $e$와 아래끝 $1$을 대입하여 계산합니다. ($\ln e = 1$, $\ln 1 = 0$임을 이용합니다.)
$$s = \left( \frac{e^4}{2} + \frac{1}{8}\ln e \right) - \left( \frac{1^4}{2} + \frac{1}{8}\ln 1 \right)$$
$$s = \left( \frac{e^4}{2} + \frac{1}{8} \right) - \left( \frac{1}{2} + 0 \right)$$
$$s = \frac{e^4}{2} + \frac{1}{8} - \frac{4}{8} = \frac{e^4}{2} - \frac{3}{8}$$
답
**① $\frac{e^4}{2}-\frac{3}{8}$**
확인해보기
점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표를 구할 때, 선생님은 직선의 방정식에 $x$를 대입해서 풀었습니다.
만약 두 교점의 $y$좌표를 각각 $y_1 = \alpha^2$, $y_2 = \beta^2$이라 두고, 이들의 평균인 $y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2}$를 이용해서 구해도 똑같은 결과가 나올까요? 곱셈 공식의 변형($\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$)과 근과 계수의 관계를 사용해 직접 확인해 보세요!