반갑습니다! 수학을 함께 쉽고 재미있게 풀어갈 선생님입니다.
오늘 함께 풀어볼 문제는 미적분 과목에서 자주 출제되는 합성함수의 극대·극소에 관한 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 함수를 쪼개어 분석하고 대칭성을 이용하면 아주 깔끔하게 해결할 수 있어요. 천천히 한 단계씩 알아가 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $g(x)$가 극소가 되는 점의 개수를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 도함수와 극소의 정의: 어떤 함수가 극소가 된다는 것은 도함수의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 변하는 것을 의미합니다.
- 합성함수의 미분법: $g(x)$를 미분하여 $g'(x)$를 구하고, 곱해진 두 식의 부호 변화를 관찰합니다.
- 이차함수의 대칭성: $f(x)$가 $x=1$을 기준으로 대칭이라는 성질을 이용해 범위를 나누어 생각합니다.
단계별 풀이
1단계: $f(x)$의 그래프 개형과 범위 파악하기
먼저 $f(x) = 6\pi(x-1)^2$의 특징을 살펴봅시다.
- 이 함수는 $x=1$에서 최솟값 $0$을 갖는 아래로 볼록한 이차함수 모양입니다. 즉, $x=1$에 대해 대칭입니다.
- 문제에서 주어진 범위 $0 < x < 2$에서 $f(x)$의 범위를 구해봅시다.
* $x \to 0$일 때, $f(x) \to 6\pi$
* $x \to 2$일 때, $f(x) \to 6\pi$
* $x = 1$일 때, $f(1) = 0$
- 따라서 $0 < x < 2$에서 $f(x)$의 값의 범위는 $[0, 6\pi)$가 됩니다.
* $x$가 $0$에서 $1$로 갈 때, $f(x)$는 $6\pi$에서 $0$으로 감소합니다.
* $x$가 $1$에서 $2$로 갈 때, $f(x)$는 $0$에서 $6\pi$로 증가합니다.
2단계: $g(x)$ 미분하고 극소 조건 분석하기
이제 $g(x) = 3f(x) + 4\cos f(x)$를 미분해 봅시다. 합성함수의 미분법을 사용합니다.
$$g'(x) = 3f'(x) - 4\sin f(x) \cdot f'(x)$$
공통인수 $f'(x)$로 묶어주면 다음과 같습니다.
$$g'(x) = f'(x) [3 - 4\sin f(x)]$$
$g(x)$가 극소가 되려면 $g'(x)$의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌어야 합니다. 곱해진 두 식 $f'(x)$와 $[3 - 4\sin f(x)]$의 부호를 $x=1$을 기준으로 나누어 분석해 봅시다.
3단계: $x=1$에서 극소 여부 확인하기
먼저 $f'(x) = 12\pi(x-1)$이므로, $x=1$ 좌우에서 $f'(x)$의 부호는 다음과 같이 바뀝니다.
- $x < 1$ 일 때: $f'(x) < 0$
- $x > 1$ 일 때: $f'(x) > 0$
이때 $x=1$ 근처에서 $f(x)$의 값은 $0$에 아주 가깝습니다.
따라서 $\sin f(x) \approx 0$이 되므로, $[3 - 4\sin f(x)]$의 값은 약 $3$으로 항상 양수(+)입니다.
결국 $x=1$ 근처에서 $g'(x)$의 부호는 오직 $f'(x)$의 부호에 의해서만 결정됩니다.
- $x$가 $1$보다 작을 때: $g'(x) < 0$ (감소)
- $x$가 $1$보다 클 때: $g'(x) > 0$ (증가)
부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌므로, **$x=1$은 극소점**이 됩니다. (1개 확보!)
4단계: $x \neq 1$에서 극소점 찾기
이제 $3 - 4\sin f(x) = 0$이 되는 순간, 즉 $\sin f(x) = \frac{3}{4}$가 되는 지점들을 찾아야 합니다.
이해를 돕기 위해 $f(x) = t$로 치환해 봅시다. $t$의 범위는 $(0, 6\pi)$입니다.
$\sin t = \frac{3}{4}$를 만족하는 $t$는 한 주기 $[0, 2\pi)$ 안에서 두 개가 존재합니다.
- 1사분면의 각을 $\alpha_1$ (이때 $\sin t$는 증가 상태)
- 2사분면의 각을 $\alpha_2$ (이때 $\sin t$는 감소 상태)
$(0, 6\pi)$ 범위는 총 3주기이므로, 해는 다음과 같이 총 6개가 있습니다.
- $\sin t$가 증가하며 $\frac{3}{4}$을 지나는 지점: $t = \alpha_1, 2\pi+\alpha_1, 4\pi+\alpha_1$
- $\sin t$가 감소하며 $\frac{3}{4}$을 지나는 지점: $t = \alpha_2, 2\pi+\alpha_2, 4\pi+\alpha_2$
이제 $x$의 구간을 나누어 극소가 되는 점을 찾습니다.
Case A: $1 < x < 2$ 일 때 (즉, $f'(x) > 0$)
이 구간에서는 $f'(x) > 0$이므로, $g'(x)$의 부호 변화는 $[3 - 4\sin f(x)]$의 부호 변화와 완전히 일치합니다.
- $g'(x)$가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌려면, $3 - 4\sin f(x)$가 음에서 양으로 바뀌어야 합니다.
- 즉, $\sin f(x)$가 $\frac{3}{4}$보다 큰 상태에서 작은 상태로 변해야 합니다.
- $x$가 증가할 때 $t = f(x)$도 증가하므로, $t$가 증가할 때 $\sin t$가 감소하면서 $\frac{3}{4}$을 지나야 합니다.
- 이에 해당하는 $t$값은 감소 구간의 해인 $t = \alpha_2, 2\pi+\alpha_2, 4\pi+\alpha_2$입니다.
- $1 < x < 2$에서 $f(x)$는 $0$에서 $6\pi$까지 일대일 대응으로 증가하므로, 이 세 값에 대응하는 $x$가 각각 1개씩(총 3개) 존재합니다.
Case B: $0 < x < 1$ 일 때 (즉, $f'(x) < 0$)
이 구간에서는 $f'(x) < 0$이므로, $g'(x)$의 부호 변화는 $[3 - 4\sin f(x)]$의 부호 변화와 반대가 됩니다.
- $g'(x)$가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌려면, $3 - 4\sin f(x)$가 양에서 음으로 바뀌어야 합니다.
- 즉, $\sin f(x)$가 $\frac{3}{4}$보다 작은 상태에서 큰 상태로 변해야 합니다.
- 그런데 $x$가 증가할 때 $t = f(x)$는 감소합니다. $t$가 감소하면서 $\sin t$가 증가한다는 것은, 반대로 $t$가 증가하는 방향으로 볼 때는 $\sin t$가 감소하면서 $\frac{3}{4}$을 지나는 것과 같습니다.
- 따라서 이때도 조건에 맞는 $t$값은 $t = \alpha_2, 2\pi+\alpha_2, 4\pi+\alpha_2$가 됩니다.
- $0 < x < 1$에서 $f(x)$는 $6\pi$에서 $0$까지 일대일 대응으로 감소하므로, 이 세 값에 대응하는 $x$가 각각 1개씩(총 3개) 존재합니다.
5단계: 전체 극소점의 개수 합산하기
우리가 찾은 극소점의 개수를 모두 더해봅시다.
- $0 < x < 1$ 구간에서: 3개
- $x = 1$에서: 1개
- $1 < x < 2$ 구간에서: 3개
따라서 극소가 되는 $x$의 개수는 총 $3 + 1 + 3 = 7$개입니다.
답
정답은 ② 7 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
질문: 만약 문제에서 함수 $g(x)$가 다음과 같이 바뀌었다면 어떻게 될까요?
$$g(x) = 3f(x) - 4\cos f(x)$$
이때, $x=1$에서 함수 $g(x)$는 극대일까요, 극소일까요? 도함수 $g'(x)$의 식을 세우고 $x=1$ 좌우에서의 부호 변화를 생각하여 답해 보세요. (답은 스스로 생각해 보기!)