어떤 문제인가
반원 안의 도형 넓이 $f(\theta)$, $g(\theta)$에 대해 $\theta\to 0+$일 때의 극한을 구하는 문제예요. 핵심 개념은 세 가지입니다. 첫째, 지름 $\mathrm{AB}=2$인 반원을 좌표평면에 놓고($\mathrm{A}=(0,0)$, $\mathrm{B}=(2,0)$, 중심 $(1,0)$, 반지름 $1$) 각 점의 좌표를 $\theta$로 나타내요. 둘째, 각 도형의 넓이를 $\theta$의 함수로 나타낸 뒤 $\theta\to 0+$에서의 최저차항(leading order)만 비교하면 됩니다. 셋째, 극한값은 $\dfrac{g(\theta)}{\theta f(\theta)}=\dfrac{g(\theta)/\theta^2}{f(\theta)/\theta}$처럼 두 극한으로 분리해서 구해요.
단계별 풀이
- 주요 점의 좌표를 구해요. 원주각 성질에 의해 $\angle APB=90^\circ$이므로 $\overline{AP}=2\cos\theta$, $\overline{BQ}=2\cos 2\theta$입니다. 따라서
$$\mathrm{P}=(2\cos^2\theta,\ 2\sin\theta\cos\theta)=(1+\cos 2\theta,\ \sin 2\theta),\qquad \mathrm{Q}=(1-\cos 4\theta,\ \sin 4\theta)$$
이고, 직선 $\mathrm{AP}:\ y=x\tan\theta$와 직선 $\mathrm{BQ}:\ y=(2-x)\tan 2\theta$의 교점이 $\mathrm{R}$이므로
$$x_R=\frac{2\tan 2\theta}{\tan\theta+\tan 2\theta},\qquad y_R=x_R\tan\theta$$
가 됩니다.
- **$f(\theta)$의 최저차항을 구해요.** 영역($\mathrm{A}\to\mathrm{R}\to\mathrm{Q}\to$ 호 $\to\mathrm{A}$)의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ARQ}$와 현 $\mathrm{AQ}$ 위의 활꼴(중심각 $4\theta$)의 합이에요.
$$f(\theta)=\frac12\,(x_R y_Q-x_Q y_R)+\frac12\,(4\theta-\sin 4\theta)$$
$\theta\to0+$에서 $\tan 2\theta/\tan\theta\to 2$이므로 $x_R\to \dfrac{2\cdot 2}{1+2}=\dfrac43$이고, $y_Q=\sin4\theta\sim 4\theta$, 그리고 $x_Q\sim 8\theta^2$, $y_R\sim\frac43\theta$이므로 $x_Qy_R=O(\theta^3)$이며 활꼴 항도 $\frac12(4\theta-\sin4\theta)=O(\theta^3)$이에요. 따라서
$$\lim_{\theta\to0+}\frac{f(\theta)}{\theta}=\frac12\cdot\frac43\cdot 4=\frac83$$
입니다.
- **$g(\theta)$의 최저차항을 구해요.** 정삼각형 $\mathrm{STU}$의 한 변을 $s$라 합시다. $\overline{UT}\parallel\overline{AB}$이고 꼭짓점 $\mathrm{S}$가 $\overline{AB}$ 위에 있으므로 변 $\mathrm{UT}$의 높이는 $h=\dfrac{\sqrt3}{2}s$예요. 높이 $h$에서 직선 $\mathrm{AR}$ 위의 점은 $x_U=h\cot\theta$, 직선 $\mathrm{BR}$ 위의 점은 $x_T=2-h\cot 2\theta$이므로
$$s=x_T-x_U=2-\frac{\sqrt3}{2}s\,(\cot\theta+\cot 2\theta)\ \Longrightarrow\ s=\frac{2}{1+\dfrac{\sqrt3}{2}(\cot\theta+\cot 2\theta)}$$
가 됩니다. $\theta\to0+$에서 $\cot\theta+\cot2\theta\sim\dfrac1\theta+\dfrac1{2\theta}=\dfrac{3}{2\theta}$이므로 $s\sim\dfrac{2}{\frac{3\sqrt3}{4\theta}}=\dfrac{8\theta}{3\sqrt3}=\dfrac{8\sqrt3}{9}\theta$예요. 따라서
$$g(\theta)=\frac{\sqrt3}{4}s^2\sim\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{64}{27}\theta^2=\frac{16\sqrt3}{27}\theta^2,\qquad \lim_{\theta\to0+}\frac{g(\theta)}{\theta^2}=\frac{16\sqrt3}{27}$$
입니다.
- 극한을 계산해요.
$$\lim_{\theta\to0+}\frac{g(\theta)}{\theta\times f(\theta)}=\frac{16\sqrt3/27}{8/3}=\frac{16\sqrt3}{27}\cdot\frac38=\frac{2\sqrt3}{9}=\frac{2}{9}\sqrt3$$
따라서 $p=9$, $q=2$(서로소인 자연수)이고, $p+q=11$입니다.
검산
작은 $\theta$ 값을 정확한 식에 직접 대입해서 수렴을 확인해 볼 수 있어요.
| $\theta$ | $f(\theta)/\theta$ | $g(\theta)/\theta^2$ | $g/(\theta f)$ |
|---|---|---|---|
| $0.01$ | $2.666044$ | $1.010912$ | $0.379181$ |
| $0.001$ | $2.666660$ | $1.024823$ | $0.384310$ |
| $0.0001$ | $2.666667$ | $1.026242$ | $0.384841$ |
$\dfrac{2\sqrt3}{9}=0.3849002\ldots$, $\dfrac83=2.666667$, $\dfrac{16\sqrt3}{27}=1.026400$이므로 표의 값들이 이론값에 정확히 수렴하는 것을 볼 수 있어요.
답
$$p+q=9+2=\boxed{11}$$
확인해보기
극한을 구할 때 $f(\theta)$는 $\theta$로, $g(\theta)$는 $\theta^2$으로 나눈 이유가 무엇인지, 각 넓이가 $\theta\to 0+$에서 몇 차로 작아지는지와 연결해서 스스로 설명해 볼 수 있나요?