어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$와 그 역함수 $g(x)$의 관계식을 활용하여, 정적분 $\int_{1}^{8} xf'(x)dx$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- 부분적분법: 구하고자 하는 식에 $xf'(x)$가 포함되어 있으므로, 이를 적분하기 쉬운 형태로 바꿉니다.
- 역함수의 성질: $y = f(x) \iff x = g(y)$ 관계를 이용해 특정 함숫값들을 찾아냅니다.
- 역함수의 정적분과 치환적분: 원래 함수와 역함수의 정적분 사이의 기하학적 관계(넓이)와 치환적분을 이용해 구간별 적분 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 부분적분법으로 목표 식 정리하기
우리가 구해야 하는 값은 $\int_{1}^{8} xf'(x)dx$입니다. 피적분함수에 $xf'(x)$가 있으므로 부분적분법($\int u v' dx = uv - \int u' v dx$)을 적용해 봅시다.
$u = x$, $v' = f'(x)$로 두면, $u' = 1$, $v = f(x)$가 됩니다.
이를 정리하면 다음과 같습니다.
조건 (가)에서 $f(1) = 1$임을 알고 있으므로, 우리가 최종 답을 구하기 위해 알아내야 하는 것은 **$f(8)$의 값과 $\int_{1}^{8} f(x)dx$의 값**입니다.
2단계: 역함수 관계식을 이용해 함숫값 구하기
조건 (나)에서 $x \ge 1$일 때 $g(2x) = 2f(x)$라고 했습니다. $g(x)$는 $f(x)$의 역함수이므로, $g(b) = a$이면 $f(a) = b$가 성립합니다. 이 성질과 $f(1)=1$을 이용해 필요한 함숫값들을 차례대로 구해봅시다.
- **$f(2)$ 구하기**:
조건 (나)에 $x=1$을 대입합니다.
$$g(2) = 2f(1) = 2 \times 1 = 2$$
역함수 관계에 의해, $g(2) = 2$이므로 **$f(2) = 2$**입니다.
- **$f(4)$ 구하기**:
조건 (나)에 $x=2$를 대입합니다.
$$g(4) = 2f(2) = 2 \times 2 = 4$$
역함수 관계에 의해, $g(4) = 4$이므로 **$f(4) = 4$**입니다.
- **$f(8)$ 구하기**:
조건 (나)에 $x=4$를 대입합니다.
$$g(8) = 2f(4) = 2 \times 4 = 8$$
역함수 관계에 의해, $g(8) = 8$이므로 **$f(8) = 8$**입니다.
이로써 첫 번째 목표인 **$f(8) = 8$**을 구했습니다!
3단계: 역함수의 정적분 성질과 치환적분 공식 유도하기
이제 $\int_{1}^{8} f(x)dx$를 구해야 합니다. 이 적분 구간을 $[1, 2]$, $[2, 4]$, $[4, 8]$로 나누어 계산할 것입니다.
이미 $\int_{1}^{2} f(x)dx = \frac{5}{4}$인 것은 알고 있으니, 나머지 두 구간의 값을 구해야 합니다.
여기서 두 가지 중요한 공식을 사용합니다.
공식 A (원함수와 역함수의 적분 관계):
함수 $f(x)$가 증가함수이고 $f(a)=c, f(b)=d$일 때, 그래프의 기하학적 넓이 관계에 의해 다음이 성립합니다.
공식 B (조건 (나)를 이용한 치환적분):
$g(2t) = 2f(t)$ 양변을 적분하기 위해, $y = 2t$로 치환해 봅시다. ($dy = 2dt$)
즉, 아주 유용한 관계식인 **$\int_{2a}^{2b} g(y)dy = 4\int_{a}^{b} f(x)dx$**를 얻을 수 있습니다.
4단계: 구간별로 적분 값 계산하기
이제 준비가 끝났으니 구간별로 계산해 봅시다.
① 구간 $[1, 2]$에서:
공식 A를 적용합니다. ($f(1)=1, f(2)=2$)
$\int_{1}^{2} f(x)dx = \frac{5}{4}$이므로,
② 구간 $[2, 4]$에서:
먼저 공식 B를 이용해 $\int_{2}^{4} g(y)dy$를 구합니다. ($a=1, b=2$ 대입)
이제 공식 A를 적용합니다. ($f(2)=2, f(4)=4$)
위에서 구한 $\int_{2}^{4} g(y)dy = 5$를 대입하면,
③ 구간 $[4, 8]$에서:
마찬가지로 공식 B를 이용해 $\int_{4}^{8} g(y)dy$를 구합니다. ($a=2, b=4$ 대입)
이제 공식 A를 적용합니다. ($f(4)=4, f(8)=8$)
위에서 구한 $\int_{4}^{8} g(y)dy = 28$을 대입하면,
5단계: 최종 계산하기
이제 구한 값들을 모두 합쳐봅시다.
$$\int_{1}^{8} f(x)dx = \frac{5}{4} + 7 + 20 = 27 + \frac{5}{4} = \frac{113}{4}$$
이 값을 1단계에서 정리해 둔 부분적분 식에 대입합니다.
따라서 $\frac{q}{p} = \frac{139}{4}$입니다. 139는 소수이므로 $p=4$와 $q=139$는 서로소인 자연수입니다.
우리가 구하는 값은 $p+q = 4 + 139 = 143$입니다.
답
$$143$$
확인해보기
선생님이 설명한 풀이 과정 중에서 3단계의 공식 B를 잘 이해했는지 확인해봅시다.
질문:
만약 어떤 문제에서 $g(3x) = 3f(x)$라는 관계식이 주어졌다면, 치환적분을 이용하여 $\int_{3a}^{3b} g(y)dy$를 $\int_{a}^{b} f(x)dx$에 대한 식으로 어떻게 나타낼 수 있을까요? 직접 식을 유도해 보세요.