어떤 문제인가
이 문제는 복잡해 보이는 지수식을 지수법칙을 이용해서 간단하게 정리하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 밑 통일하기: 지수법칙을 적용하기 위해 밑을 $2$로 같게 만들어 줍니다. ($4 = 2^2$)
- 지수법칙:
- 밑이 같을 때의 곱셈: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- 거듭제곱의 거듭제곱: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- 곱셈 공식 (합차 공식): $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
단계별 풀이
1단계: 괄호 안의 밑을 $2$로 통일하기
지수법칙을 쓰려면 밑이 서로 같아야 계산하기 편합니다. 괄호 안에 있는 $4$를 $2$의 거듭제곱으로 바꾸어 봅시다.
$$4 = 2^2$$
이것을 원래 식의 괄호 안에 대입하면 다음과 같이 바뀝니다.
$$2^{\sqrt{3}} \times 4 = 2^{\sqrt{3}} \times 2^2$$
2단계: 괄호 안의 식 정리하기
밑이 $2$로 같아졌으므로, 곱셈 지수법칙($a^m \times a^n = a^{m+n}$)을 적용해 지수끼리 더해줍니다.
$$2^{\sqrt{3}} \times 2^2 = 2^{\sqrt{3}+2}$$
3단계: 전체 식에 지수법칙 적용하기
이제 원래 식 전체를 다시 써보면 다음과 같습니다.
$$(2^{\sqrt{3}} \times 4)^{\sqrt{3}-2} = (2^{\sqrt{3}+2})^{\sqrt{3}-2}$$
거듭제곱의 거듭제곱 법칙($(a^m)^n = a^{m \times n}$)을 적용하여 괄호 안팎의 지수를 곱해줍니다.
$$2^{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$$
4단계: 지수 부분 계산하기 (합차 공식)
지수에 있는 $(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$를 계산해 봅시다. 이 모양은 우리가 잘 아는 합차 공식 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$의 형태입니다.
$$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2$$
$$= 3 - 4 = -1$$
5단계: 최종 값 구하기
지수 자리에 계산한 값을 넣어줍니다.
$$2^{-1}$$
음수 지수는 역수를 의미하므로 ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), 최종 답은 다음과 같습니다.
$$2^{-1} = \frac{1}{2}$$
답
**② $\frac{1}{2}$**
확인해보기
오늘 배운 지수법칙과 합차 공식을 잘 이해했는지 다음 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> [스스로 풀어보기]
> $$(3^{\sqrt{5}} \times 9)^{\sqrt{5}-2}\text{의 값은 무엇일까요?}$$